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Das ist die Aufgabe

1 / (z • z*) = (1+j) / (2z - z)


und ich bin so weit

(1/1+j) = (a2 + b2) / (a + 3jb)


nun weiß ich nicht mehr weiter

von

(2z - z) , heißt das wirklich so?

Stelle doch bitte ein Photo ein.

Sorry Leute, hab mich tatsächlich verschrieben und der Nenner der rechten Seite heißt

2z - z*

um so mehr bedanke ich mich für die schnelle Hilfe!

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Beste Antwort

Ich kann nicht nachvollziehen wie du auf \(a + 3\text{j} b\) im Nenner auf der rechten Seite gekommen bist.

Außer du hast dich verschrieben, und die Gleichung soll eigentlich

\(\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z^*}\)

statt

\(\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z}\)

lauten.

----------

Wenn die Gleichung

\(\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z}\)

lautet ...

[spoiler]

\(\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z}\)

Nenner auf der rechten Seite vereinfachen.

\(\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{z}\)

Mit \(z\cdot z^*\) multiplizieren.

\(1 = (1+\text{j})\cdot z^*\)

Durch \(1+\text{j}\) dividieren. (Und die Seiten der Gleichung vertauschen.)

\(z^* = \frac{1}{1+\text{j}}\)

Komplex konjugieren.

\(z = \frac{1}{1-\text{j}}\)

Wenn man die Lösung gerne in kartesischer Form hat, kann man noch mit \(1+\text{j}\) erweitern.

\(z = \frac{1+\text{j}}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{j}\)

[/spoiler]

----------

Wenn die Gleichung stattdessen

\(\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z^*}\)

lautet ...

[spoiler]

\(\frac{1}{z\cdot z^*} = \frac{1+\text{j}}{2z - z^*}\)

Setze \(z = a+\text{j}b\) mit \(a, b\in\mathbb{R}\).

\(\frac{1}{a^2 + b^2} = \frac{1+\text{j}}{2\cdot(a+\text{j}b) - (a-\text{j}b)}\)

Vereinfache den Nenner auf der rechten Seite.

\(\frac{1}{a^2 + b^2} = \frac{1+\text{j}}{a+3\text{j}b}\)

Multipliziere mit \((a^2+b^2)\cdot(a+3b\text{j})\), um die Brüche loszuwerden.

\(a+3b\text{j} = (1+\text{j})\cdot(a^2+b^2)\)

Ausmultiplizieren auf der rechten Seite.

\(a+3b\text{j} = a^2+b^2+(a^2+b^2)\cdot\text{j}\)

Vergleiche Real- und Imaginärteil.

\(a = a^2 + b^2\quad\text{ und }\quad 3b = a^2+b^2\)

Gleichsetzen von \(a^2 +b^2\).

\(a = a^2 + b^2\quad\text{ und }\quad 3b = a\)

Einsetzen von \(a = 3b\) in die linke Gleichung.

\(3b = (3b)^2 + b^2\quad\text{ und }\quad a = 3b\)

\(3b = 9b^2 + b^2\quad\text{ und }\quad a = 3b\)

\(3b = 10b^2\quad\text{ und }\quad a=3b\)

1. Fall: \(b = 0\)

Dann folgt mit der rechten Gleichung auch \(a = 0\). Damit wäre \(z = 0\), was jedoch nicht im Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung liegt.

2. Fall: \(b\ne 0\)

Dann kann man bei der linken Gleichung durch \(10 b\) dividieren.

\(b = \frac{3}{10}\quad\text{ und }\quad a= 3b \)

\(b = \frac{3}{10}\quad\text{ und }\quad a= 3\cdot\frac{3}{10}=\frac{9}{10}\)

Ergebnis:

\(z = \frac{9}{10}+\frac{3}{10}\text{j}\)

[/spoiler]

von 1,2 k

Habe mich tatsächlich verschrieben und die Aufgabe lautet

1 / (z* • z) = (1+j) / (2z - z*).

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