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Eine hyperbolische Drehung um die z-Achse mit "Drehwinkel"   wird

 beschrieben durch die lineare Abbildung

Matrix.png

Stellen Sie die Matrix dieser Abbildung auf, bestimmen Sie alle realen Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren.

Sie können annehmen, dass für den Drehwinkel 0 <   gilt


Ansatz: c: cosh , s:= sinh

hyperbolischer Pythagoras

von

Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?

2 Antworten

+1 Daumen

Hallo

 die Spalten der Matrix sind die Bilder der Standardbasisvektoren. setz die ein , die erste Spalte ist dann z.B. (c,s,0)

Gruß lul

von 65 k 🚀

Zweiter wäre dann s, c , 1

?

+1 Daumen

  Du musst einfach mal sehen, in welchem Film dass du hier bist.  Es handelt sich um die ===>  Lorentz Transformationsmatrix aus der  SRT  vom ruhenden auf das bewegte System;  für den " Drehwinkel  "  u  gilt


      tgh  (  u  )  =:  ß      (  1  )


     wobei  ß  die Geschwindigkeit des Bezugssystems ist . Dann musst du setzen


        y  :=  c  t      (  2a  )


     so dass die Lorentzmetrik invariant bleibt unter obiger Transformationsmatrix:


    s  ²  =  y  ²  -  x  ²  =  const      (  2b  )


     ===>  Raumartige  ===>  zeitartige  Ereignisse.

     Ein Massenpunkt, der sich mit der Geschwindigkeit ß bewegt, wird dann beschrieben durch die ===>  Vierergeschwindigkeit


      [  sinh  (  u  )  |  cosh  (  u  )  ]         (  3a  )

      sinh  (  u  )  :=  ß /  sqr  (  1  -  ß  ²  )      (  3b  )


     Was erwarten wir? Rein von der Physik des Problems her meine ich. Da gibt es das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ( LG )   Bei LG musst du in ( 1 ) setzen  ß = 1 ;  das entspräche einem Grenzwert von tgh  .  Das geht nämlich nur, wenn u ===>  ( °° )  , entsprechend  Vektor  (  1 | 1 )   in ( 3a ) ; das erwarten wir also als Eigenvektor.

    Ihr wisst, wie wichtig es in der Pädagogik ist, das Gesagte mit praktischen Beispielen zu würzen. Kennst du die SF-Serie  " SRI "   ?    (  ZDF Vorabendprogramm 1966 )

 https://de.wikipedia.org/wiki/S.R.I._und_die_unheimlichen_F%C3%A4lle


    Hier insbesondere   die Folge  ===>  Die Schaufensterpuppe auf Urlaub .

   Noch ahnte  ich nicht, dass ich sex  Jahre später als Student eben jene Puppe kennen lernen würde ( Mitiko aus Kobe ; Jg. 22 )

    Sie gehörte nämlich zu den UFO  Entführten; in den Wirren am Ende des 2. Weltkriegs war sie von dem Kommandanten einer intergalaktischen Raumflotte entführt worden.  Auf welchem Alien platten Neten sie sich inzwischen aufgehalten hatte -  nie sprach sie darüber ...

    Ich erwähne dies deshalb,  weil sie rein vom  Geburtsdatum ja 50 war.  Aber die relativistische ===>  Zeitdehnung, das ===>  Uhrenparadoxon   bewirkte eben, dass ihr rein biologisches Alter geschätzte   25 Jahre betrug.   Wer so dämlich war,  sie direkt  auf  ihr Alter anzusprechen, den beschied  sie, ihr Geburtsjahr sei 45 ...

     Die Kelten hatten vor nichts so sehr Angst wie, dass ihnen der Himmel auf den Kopf fällt.

   Und wir teoretische Physiker haben vor nichts so sehr Angst wie, dass das Vakuum zerfällt

   ( Nein da bleibt dir nicht mal mehr Zeit, dich zu wundern,

    " Hey what was  that? " )

   Und Miti hatte eben vor nichts so sehr Angst wie, dass jemand ihr wahres Alter rauskriegt.  Man merkte durchaus, dass sie Probleme mit sich schleppte, die ansonsten keine Frau auf der Welt hat. Freundin hatte sie keine einzige; insbesondere ihre japanesischen Kommilitoninnen bezeichnete sie - gar nicht höflich -  samt und sonders als  "  alberne Gänschen " ...

    Weil  Weiber kriegen alles raus; deene machste nix vor ...

   Aus dem selben Grund hatte sie sämtliche Brücken zu daheim abgebrochen;  sie war durchaus gesonnen, den Rest ihres Lebens in Deutschland zu verbringen.

   Und wenn nur ein Junge mit dem finger schnippte und im Bdfehlston zu ihr sprach, wie es ihm die Hormone eingegeben hatten

   " Du kommst  JETZT  mit mir in meine Wohnung. "

     Sie folgte aufs Wort ...

    "  Miti; warum machst du das eigentlich? "

    " Ich bin jung, tolerant, modern und aufgeschlossen. JEDES MÄDCHEN  würde an meiner Stelle so handeln; meinst du nicht?

     Tue ich etwa etwas  Unrechtes?  "

     Miti hatte Todesverachtung entwickelt - es gab ja auch weibliche Samurai, sogar Kinder ...

    Institutsdirektor  ===>  Walter Greiner    zog meinen Assistenten   "  Jens "  ins Vertrauen,  er solle mal mit mir über Miti reden.  Nach nunmehr   zwei Jahren sei es an der Zeit,  sie mal direkt   auf ihr Alter anzusprechen ...

    Die Reaktionen der Frankfurter "  Krätschern "  - sie sind ja berüchtigt.

   " Wann isch saach, isch bin ßwansisch. Naa binnisch 20.

  Unn wann isch saach, isch bin treisisch. Naa binnisch 30.

   Unn iwwerhappt. Hattmer dir noch net gelernt, dassmer Fraaa ( Frau )  net nach'm Alter freeescht!? "

   Miti war aus gänzlich anderem Holz;  für sie brach eine Welt zusammen. Schlagartig wurde mir bewusst: Mit der bloßen Möglichkeit dieser Frage hatte sie sich nie auseinander gesetzt.

   Der Mytos von der Medusa - er ist wahr. Ihr brachen die Augen, als sei sie zu Stein erstarrt; ich blickte in die Augen einer Toten.

   Unerträglich; wie kann sich ein Mensch sowas antun?

   A Propos: in jenen Jahren, als ich mit ihr zusammen war, beschäftigte ich mich  nebenbei bemerkt besonders intensiv mit Matrizen, Eigenwerten und Gruppen - wobei wir wieder bei der Aufgabe wären.

    Deine Matrix lautet


                   cosh ( u )       sinh ( u )             0

      T  =       sinh ( u )        cosh ( u )            0        (  4  )

                         0                   0                     1



     Also so viel lässt sich bereits sagen;  T ist Hermitesch

   1) Die  ( drei ) Eigenwerte sind reell.

   2) T lässt sich diagonalisieren auf eine  ONB

  

     Der z Eigenvektor  ( 0 | 0 | 1 )  zum Eigenwert E3 = 1 ist  trivial; betrachten wir die 2 X 2 Untermatrix .

        Hier ein total heißer Tipp.  Solltest du noch nie von ===>  Paulimatrizen gehört haben, lebst du verkehrt.  Schau  mal in ein gescheites QM Buch -   eugen Fi ck oder den Nobelpreis verdächtigen Gordon Baym.

   Weil die QM fragt sich: Welche  ===>  Matrixdarstellungen der Gruppe O3 gibt es?  ( Sie klassifizieren nach der  ===> Nebenquantenzahl l )  Und wenn du zusätzlich noch zulässt, dass O3 eine ===>  Lie_Algebra ist,  darf l auch halbzahliger  (  Spin )  l = s sein.  Im einfachsten Fall ist s = 1/2.   Was uns hier allein zu intressieren hat:  Die Paulimatrix  S1  entspricht der  ===>  Observablen für Spinkpmponente  x  mit Eigenwertt ( +/- 1 )  gleich " Spin up oder down "

   Wenn du dir das Aussehen von S1 zu Gemüte führst - mehr  braucht's hier gar nicht. Dann musst du doch zugestehen, dass


     T  =  cosh  (  u  )  *  1|  +  sinh  (  u  )  *  S1      (  5a  )


    Jetzt kommt ein Zaubertrick;  die Einheitsmatrix vertauscht mit allen Operatren.  Also bildest du die entsprechenden Eigenwerte von T einfach als Linearkombinationen; so einfach ist das. Denk bitte daran, was ich dir oben gesagt hatte von den Eigenwerten von S1 .


    E1;2  =  cosh  (  u  )  +/-   sinh  (  u  )  =       (  5b  )

        =  exp  (  +/-  u  )         (  5c  )


   Und zwar      (  5c  )     direkt aus der Definition der beiden Funktionen sinh und cosh .

   Die Eigenvektoren ergeben sich aus folgender Regel:

   " Der ===>  Spinor hat immer  den halben Winkel der Observasblen. "

   ( Wenn beispielsweise der Spin in einem Magnetfeld  ===>  präzediert. )

    D.h. die Eigenvektoren von S1  verlaufen unter ( +/- 45 ° )  Kannst du dir übrigens ganz einfach vorstellen nach der  ===>  Wahrscheinlichkeitsdeutung von  Max Born.

    Angenommen der Spin zeigt in x_richtung; dann ist doch die Wahrscheinlichkeit  "  Halbe Halbe "  für ( +/-  z )

    Wenn du einmal davon ausgehst, dass  ( 2b  ) die Hauptachsendarstellung der Lorentzhyperbel ist,  dann entzspricht eine Drehung um 45 °   doch einem Koordinatensystem, das von ihren Asymptoten aufgespannt wird.   Bezeichnen wir diese Koordinaten mit u  und  v , dann folgt aus der Form  (  5c  )


       u  v  =  1       (  6  )


         eine Darstellung der Hyperbel, die uns seltsam vertraut dünkt.

von 5,5 k

Also S1 beträgt x und 1| den Wert 1/2? Liege ich da richtig´?

  Für diese ( und ähnliche ) Aufgaben musst du nur wissen:  Die Einheitsmatrix vertauscht mit allen Operatoren, so dass die gesuchten Eigenvektoren immer diejenigen von S1 sind.  Eigenwerte von S1 sind ( +/- 1 )

   Die QM interessiert sich für  die ===>  irreduziblen  ===>  Matrixdarstellungen ihrer Symmdemmetriegruppen.

   ( Ein irreduzibler Darstellungsraum ist ganz analog zu sehen einem ===>  Ideal in der Algebra. )

   Eine Darstellung heißt ===> halbeinfach oder zerfällbar, wenn sie in eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen zerfällt.  In so weit ist der Begriff der Zerfällbarkeit ganz analog zu sehen der Diagonalisierbarkeit einer Matrix.  Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar;  und nicht jede Darstellung, die einen irreduziblen Unterraum enthält, ist halbeinfach.

    Aber fast jede.  Jede ===> unitäre  Darstellung ist zerfällbar - das sieht man übrigens sehr schnell ein.

    Der Satz von  ===>  Maschke besagt nun:    Sämtliche Darstellungen von endlichen Gruppen so wie ===>  kompakten ===>  Lie_Gruppen - zu letzteren gehört O3 -  sind ===>  unitär_äquivalent, mithin halbeinfach.

    Was nun die ( Drehgruppe ) O3 anlangt. Ihre irreduziblen Darstellungen sind die " Legosteine "  , aus denen sich alle übrigen Darstellungen nach dem  " Fertg_Montageverfahren "    zusammen setzen lassen.

   Du findest das beispielsweise in dem Bändchen

    " Angular Momentum "

    von Rose,  einem Standardwerk. 

    Zunächst ein Wort in eigener Sache;  nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen "  Hochpunkt "  statt Maximum - ich kann es auch.   Es heißt nicht ===>  Observable, sondern  Messgröße.

     Die Messgrößen der drei ===>  Drehimpuls Projektionen sind die Operatoren  J_x;y;z  . Gemäß der  ===>  Kopenhagener Deutung lassen sie sich   NICHT  gleichzeitig scharf bestimmen; da gibt es eine ===>  kanonische  ===>  Unschärfebeziehung.  Sie wird immer zitiert in der Form


       J  X  J  =  i  J       (  2.1a  )


         oder etwas transparenter


       [  J  ;  J  ]  =  i  J       (  2.1b  )


    Dabei stellt sich heraus, dass die Eigenwerte   von  J_x;y;z    entweder ganzzahlig sind


     0  ;  +/-  (  1  ,   2  ,  ....  ,  l   )        (  2.2a  )


     oder eben halbzahlig


      +/-  (  1/2  ,  3/2  ,  ...   ,  s  )     (  2.2b  )


         Einfaches Abzählen belehrt uns, dass der Darstellungsraum Dimension   hat  n = ( 2 l + 1 ) bzw. n = ( 2 s + 1 )    D.h. als einfachster Fall ergäbe sich s = 1/2 , n = 2 .   Diese zwei Dimensionen stehen für die beiden Möglichkeiten " Spin up oder down "  In diesem Fall s = 1/2 ergibt sich übrigens der Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Paulimatrizen


    J_x;y;z  =  1/2  S1;2;3      (  2.3  )


     Du müsstest dir das einfach mal zu Gemüte führen in den ganzen schlauen Büchern.  Der Witz ist nun:  Eine reelle Hermitesche    2  X  2  Matrix  besitzt doch drei freie Parameter.  In allen Textbüchern findest du, dass sie sich schreiben lässt als Linearkombination aus Einheitsmatrix, S_x  und S_z .  Und wenn man eben so wie ich diesen ganzen Background hat,  überblickt man so eine Aufgabe ben viel leichter.

   Nein die Einheitsmatrix selbst fehört der Drehimpulsalgebra nicht an; Eugen Fi ck würde wohl sagen

   "  Die Einheitsmatrix von Unterraum U ist eine Projektionsmatrix; sie entspricht der Messgröße, cdder binären Frage:  Befindet sich das System im Unterraum U  ( Antwort: Ja = Eigenwert 1 , Nein = Eigenwert  0  )  "

  Da gibt es noch einen ganz witzigen Zusammenhang;  Paulimatrizen verhalten sich nämlich wie Vektorkomponenten ( Drehimpulsvektor !  )  Du kannst also her gehen und sagen


      S  (  ß  )  :=  S1  cos  (  ß  )  +  S3  sin  (  ß  )      (  2.4a  )


   Obgleich ja S1 und S3 nicht vertauschen, keine ge,einsame Eigenbasis haben,  sind die EIGENWERTE VON ( 2.4a )  trotzdem  ( +/- 1 )  ; und damit erweist sich S ( ß )  als Paulimatrix für " resultierende Spinkomponente in Richtung ß "

   Beweis:  In allen Büchern findest du, dass die Paulimatrizen die ===>  Antikommutator  Beziehung  erfüllen


       {  S_i  ;  S_j  }  =  2  DELTA  (  i  ;  j  )  *  1|      (  2.4b  )


     mit  DELTA  =  Kronecker-Delta; also insbesondere


     S1  ²  =  S2  ²  =  S  3  ²  =  1     (  2.4c  )


   Wenn du also  (  2.4a  )  quadrierst, müsste mit der binomischen Formel  "  Einheitsmatrix  "  raus kommen.

   Nur eben; ich sagte es schon.   Bei einer Drehung um ß in ( 2.4a ) im WIRKLICHEN physikalischen Raum dreht sich der Eigenvektor von S ( ß )  ( im Darstellungsraum )  nur um    ( ß/2 )  - steht auch überall;  ===> Cayley-Klein-Parameter

s1 ^2 ist also das selbe wie s3^2? UND werden die werte von sin und cos einfach geteilt??


Und was ist mit u v = 1 im vorherigen Beitrag gemeint? Etwa, dass beide zusammen 1 ergeben bzw. 1 als Eigenwert haben(ist die dritte Matrix [0|0|1] schon der gegebener Unterwert, oder kommt es eher durch den satz des pythaguras sin^2+cos^2)

<<   s1 ² ist also das selbe wie s3  ²  ?

   Allein dass du die Frage stellst,    zeigt mir, dass du dir das nicht richtig vorstellst.  Alle drei Paulimatrizenn S1;2;3  haben Eigenwerte  (  +/- 1  )   -  aber sie vertauschen nicht, weil sie keine gemeinsame Eigenbasis haben. Schau dir das bitte nochmal an.

   Überleg mal;  was passiert,  wenn du eine Matrix mit Eigenwerten  ( +/- 1 )  quadrierst?  Dann bekommst du doch zwei Mal Eigenwert  1  ,  also Einheitsmatrix .


     <<  UND werden die werte von sin und cos einfach geteilt??


    Jetzt verstehe ich dich gar nicht mehr.  Wo habe ich denn eine Division?

    Verstehst du, was eine Linearkombination ( LK )  besagen will?  Das  Paradoxe an den Paulimatrizen:  Du kannst eine popelige  LK   aus ihnen bilden so, als wenn es Vektoren wären:

      S1  cos  (  ß  )  +  S3  sin  (  ß  )

    Was heraus kommt, ist wieder eine Paulimatrix.  Ich hatte dich gebeten, das mal nachzurechnen.  Ich glaube,  über die Paulimatrizen wissen die Physiker entschieden mehr als ihre Kollegen Matematiker.

    Du kannst dich ja mal allgemein schlau machen,  in wie fern in der QM  Vektoren und Matrizen etwas zu tun haben mit Physik.     Hier erweist sich der  "  alte über den Wolken "   als bedeutend pfiffiger als jede menschliche  Fantasie ...

 <<    Und was ist mit u v = 1 im vorherigen Beitrag gemeint?

   Verzeih das hätte ich klarer notieren und ausführlicher erläutern müssen.   In  (  1.2b  )   hatte ich doch die Hauptachsendarstellung der Lorentz_Hyperbel angegeben.

    Und jetzt schnitze ich mir aus diesem Parameter, dem Pseudo_Drehwinkel  u  ,  zwei neue Koordinaten:


     v  :=  exp  (  u  )          (  3.1a  )

    w  :=  exp  (  -  u  )        (  3.1b  )


    diese Koordinaten entsprechen den gefundenen Eigenwerten.   Und jetzt tu doch mal  (  3.1ab  )  miteinander multiplizieren; was kommt dann heraus?  v  w  =  1  .  Was besagt das anschaulich?

    v w = 1 ist die  GLEICHUNG EINER HYPERBEL  ( Antiproportionalität ! )    Du erinnerst dich;  die Eigenvektoren eines Hermiteschen Operators bilden immer ein cartesisches Achsenkreuz .  In diesem um  45  °  gedrehten System     entsprechen also die Koordinatenachsenn    v  und w  den Asymptoten der Hyperbel;    daher die vertraute  Beziehung  v  w  =  1 .

Sry, dass ich dir jetzt erst schreibe, aber woher weiß man, ob bei (+-z) die x ,y oder z Koordinate gemeint ist...

Laut Lösung müsste nämlich rauskommen t(1|+-1|0)

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