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Sei V ein Vektorraum und P : V → V ein Endomorphismus. Zeigen Sie die Aquivalenz folgender ¨
Aussagen:
(i) P ist idempotent, d.h. P ° P = P.
(ii) Die Einschränkung von P auf U := Bild(P) ist die Identität, d.h. P|U = IdU .
(iii) Es existieren Unterräume U, W ⊂ V , so dass U + W = V und P(u + w) = u fur alle u ∈ U
und w ∈ W.


Meine Idee ist, dass ich die implikation (i)-(ii), (ii)-(iii), (iii)-(i) nachweise.

Hat mir jemand einen Tipp, wie ich das nachweisen kann?

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(i) P ist idempotent, d.h. P ° P = P.

Sei nun U := Bild(P)  und y∈U.

==>  Es gibt ein x∈V mit  y = P(x) .  Wegen P ° P = P

==>     P(y) = P(P(x))

Wegen P ° P = P also    P(y) = P(P(x))  = P(x)

und wegen y=P( x) also     P(y) = y.

also:   (ii) Die Einschränkung von P auf U := Bild(P) ist die Identität, d.h. P|U = IdU .

(ii)==> (iii):

Gilt nun (ii) , dann wähle  außerdem W= Kern(P).

Dann sind jedenfalls U und W Unterräume

von V und es gilt für alle v∈V     v-P(v) ∈ W ; denn es ist

P(   v-P(v) )  = P(v) - P(P(v))  =   P(v) - P(v)    = 0

[ denn P(P(v)) = P(v) da P(v) ∈ U ]

Also sind mit w = v-P(v)   und u = P(v)  Elemente aus

W und U gefunden mit v=w+u  , also V=W+U .

Und sind nun u∈U =Bild(P) und w∈W=Kern(P) gegeben,

dann gilt P(u+w) = P(u) + P(w) = u + 0 = u.

(iii) ==> (i):

 Es existieren Unterräume U, W ⊂ V , so dass U + W = V und P(u + w) = u fur alle u ∈ U

und w ∈ W.

Sei v∈V. Wegen  U + W = V  gibt es u∈U und w∈W mit   v=u+w.

==>  P(P(v)) = P(P(u+w)) = P(u)  #

[wegen P(u + w) = u fur alle u ∈ Uund w ∈ W].

Und 0∈W  ==>   P(u)=P(u+0) = u

Andererseits wegen der Linearität von P gilt

P(u) = P(v+(-w))  aber mit w ist auch -w aus W, also

        = P(v) .

Damit ergibt #:     P(P(v)) = P(v) f. alle v∈V.    q.e.d.

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