Charakteristische Polynome gegeben und dim(ker) bestimmen

Question

Seien X,Y 3x3 Matrizen mit Einträgen in R und das charakteristische Polynom von T_X(t)=t³-2t²+t und T_Y(t)=-t³-7t²-t+1. Dann gilt dim(Ker(XY))=1.

Ich weiß dass gilt: v ∈ Ker(XY) ⇔ XYv=0 ⇔X(Yv)=0 ⇒ Y ist regulär ⇔Xw=0 ⇔ w ∈ Ker(X)

Also findet man zu jedem v aus dim(Ker(XY)) ein eindeutiges w aus dim(Ker(A)). Also haben X und Y die gleiche Dimension.

Doch wie muss ich weiter vorgehen um die Aussage lösen zu können?

Comments

Also ich hätte das anders gemacht. Es ist Rang X=2 und Rang Y=3 somit ist Rang(XY)=2. Insgesamt ist dim(Ker(XY))=dim(XY)-Rang(XY)=3-2=1

Answer 1

Hallo

Ty hat 3 verschiedene Nullstellen, ist Y ist also regulär, Tx hat einen Eigenwert 0 also Kern(X)=1