(a) Seien f : Y→Z und g : X→Y. Ersteinmal ist klar, dass f∘g=f∣Im(g)∘g wobei
f∣Im(g) : Im(g)→Z
da die Elemente Y\Im(g) ja nicht "erreicht werden" (beweise das am besten formal als Úbung). Das bedeutet also Im(f∘g)=Im(f∣Im(g)). Jetzt kannst du einfach die Dimensionsformel anwenden und erhältst
ker(f∘g)=dimX−dim(Im(f∘g))=dimX−dim(Im(f∣Im(g)))=dimX−(dim(Im(g))−dim(ker(f∣Im(g))))=dimX−dim(Im(g))+dim(ker(fIm(g)))=dim(ker(g))+dim(ker(f∣Im(g)))=dim(ker(g))+dim(ker(f)∩Im(g))≤dim(ker(g))+dim(ker(f))
(b)
g : Rn→Rn+1,f : Rn+1→Rn,g(x)=0f(x)=0
(c)
g : Rn→Rn,f : Rn→Rn,g(x)=0f(x)=x