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Aufgabe:

Seien U, V und W endlich-dimensionale Vektorräume über einem Körper K und seien f ∈ HomK(V, W) und g ∈ HomK(U, V ).
a) Zeigen Sie:
dim ker(f ◦ g) ≤ dim ker f + dim ker g. (∗)
b) Geben Sie ein Beispiel an, bei welchem die Ungleichung (∗) strikt ist.
c) Geben Sie ein Beispiel an, bei welchem in (∗) Gleichheit gilt.

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(a) Seien \( f: Y \rightarrow Z \) und \( g: X \rightarrow Y \). Ersteinmal ist klar, dass \( f \circ g=f_{\mid \operatorname{Im}(g)} \circ g \) wobei

\( f_{\mid \operatorname{Im}(g)}: \operatorname{Im}(g) \rightarrow Z \)
da die Elemente \( Y \backslash \operatorname{Im}(g) \) ja nicht "erreicht werden" (beweise das am besten formal als Úbung). Das bedeutet also \( \operatorname{Im}(f \circ g)=\operatorname{Im}\left(f_{\mid \operatorname{Im}(g)}\right) \). Jetzt kannst du einfach die Dimensionsformel anwenden und erhältst
\( \begin{aligned} \operatorname{ker}(f \circ g) &=\operatorname{dim} X-\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(f \circ g))=\operatorname{dim} X-\operatorname{dim}\left(\operatorname{Im}\left(f_{\mid \operatorname{Im}(g)}\right)\right) \\ &=\operatorname{dim} X-\left(\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(g))-\operatorname{dim}\left(\operatorname{ker}\left(f_{\mid \operatorname{Im}(g)}\right)\right)\right) \\ &=\operatorname{dim} X-\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(g))+\operatorname{dim}\left(\operatorname{ker}\left(f_{\operatorname{Im}(g)}\right)\right) \\ &=\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(g))+\operatorname{dim}\left(\operatorname{ker}\left(f_{\mid \operatorname{Im}(g)}\right)\right) \\ &=\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(g))+\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(f) \cap \operatorname{Im}(g)) \\ & \leq \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(g))+\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(f)) \end{aligned} \)
(b)
\( \begin{array}{ll} g: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n+1}, & g(\mathbf{x})=0 \\ f: \mathbb{R}^{n+1} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, & f(\mathbf{x})=0 \end{array} \)

(c)
\( \begin{array}{ll} g: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, & g(\mathbf{x})=0 \\ f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, & f(\mathbf{x})=\mathbf{x} \end{array} \)

von 2,2 k

dankeschön^^

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