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wir müssen folgende Gleichheit für alle n aus den natürlichen Zahlen zeigen, wäre äußerst nett wenn mir jemand helfen könnte, denn mit Induktion habe ich es schon mehrmals versucht und bin nicht weitergekommen.

(2nn)=(1)n4n(1/2n)\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix}=(-1)^n*4^n*\begin{pmatrix} -1/2\\n \end{pmatrix}

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Kannst du mal eure Definition von ( -1/2 tief n) hinschreiben?

Fuer alle αC\alpha\in\mathbb{C} und kNk\in\mathbb{N} ist (αk) : =α(α1)(α2)(αk+1)k!.{\alpha\choose k}:=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\ldots(\alpha-k+1)}{k!}. Induktion ist nicht angezeigt. Rechne direkt.

Du könntest dir zu nutze machen, dass

(2nn)=k=0n(nk)2\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix} = \sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix}^2} und 4n=k=0n(2n+1k)4^n= \sum_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} 2n+1\\k \end{pmatrix}}

Warum nicht noch (1)n=(1n) {(-1)}^{n} = \begin{pmatrix} -1\\n \end{pmatrix}

Fakename hat geschrieben "rechne direkt".


Ansonsten zu 4n z.B. https://www.mathelounge.de/487117/binomialkoeffizient-zeigen-dass-k-…

Die Formel von hj2166 lässt sich direkt über die Definition, die Fakename angegeben hat, bestätigen.

1 Antwort

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Induktion geht aber auch:

(2(n+1)n+1)=\begin{pmatrix} 2(n+1)\\n+1 \end{pmatrix} =

(2n+2n+1)=\begin{pmatrix} 2n+2\\n+1 \end{pmatrix} =

(2n+1n)+(2n+1n+1)=\begin{pmatrix} 2n+1\\n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2n+1\\n+1 \end{pmatrix} =

(2n+1n+1)+(2n+1n+1)=\begin{pmatrix} 2n+1\\n+1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2n+1\\n+1 \end{pmatrix} =

2(2n+1n+1)=2*\begin{pmatrix} 2n+1\\n+1 \end{pmatrix} =

22n+1n+1(2n+1n+1)=2*\frac{2n+1}{n+1}*\begin{pmatrix} 2n+1\\n+1 \end{pmatrix} =

Jetzt die Ind. vor.

22n+1n+1(1)n4n(12n)=2*\frac{2n+1}{n+1}*(-1)^n * 4^n *\begin{pmatrix} \frac{-1}{2}\\n \end{pmatrix} =

22n+1n+1(1)n4nn+112n(12n+1)=2*\frac{2n+1}{n+1}*(-1)^n * 4^n *\frac{n+1}{ \frac{-1}{2}-n} *\begin{pmatrix} \frac{-1}{2}\\n+1 \end{pmatrix} =

Zusammenfassen und kürzen gibt in der Tat

(1)n+14n+1(12n+1)=(-1)^{n+1} * 4^{n+1} *\begin{pmatrix} \frac{-1}{2}\\n+1 \end{pmatrix} =

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aber wie sind wir dabei gekommen ?



1.png

können sie vielleicht mehr ausführlich erklären , weil ich gerne verstehen möchte nicht nur die Antwort abschreibe :) _?

Das war vertippt, sollte heißen:

2(2n+1n+1)=2*\begin{pmatrix} 2n+1\\n+1 \end{pmatrix} =22n+1n+1(2nn)=2*\frac{2n+1}{n+1}*\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix} =

Nur dann macht das ja auch Sinn mit der Ind.vor.

Und das ist einfach die Formel

(nk)=nk(n1k1)=\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} =\frac{n}{k}*\begin{pmatrix} n-1\\k-1 \end{pmatrix} =

mit 2n+1 für n und n+1 für k.

siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Eigenschaften

Na ja jetzt alles klar ,aber ich möchte noch diese Schritt verstehen :)

3.png

Das ist auch so eine der Formeln, die sogar für

nicht ganzzahlige n gelten:

(nk)=nk+1k(nk1)=\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} =\frac{n-k+1}{k}*\begin{pmatrix} n\\k-1 \end{pmatrix} =

mit  -1/2  für n und  n+1 für  k und dann den

Bruch auf die andere Seite der Gleichung bringen.

aber in Ihrer Gleichung steht n für K !

ich glaube es gibt einen Fehler in dieser Formel :)

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