Wie groß ist die Anzahl der Elemente in den folgenden Mengen? A u B; A u B u C...

Question

Aufgabe:

5. Über die Anzahl \( n \) der Elemente in den Untermengen \( A, B \) und \( C \) einer Menge mit 200 Elementen ist Folgendes bekannt: \( \mathrm{n}(\mathrm{A})=70, \mathrm{n}(\mathrm{B})=120, \mathrm{n}(\mathrm{C})=90, \mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=50 \), \( n(A \cap C)=30, n(B \cap C)=40, n(A \cap B \cap C)=20 \)

Wie groß ist die Anzahl der Elemente in den folgenden Mengen?

a) \( A \cup B \);
b) \( A \cup B \cup C \);
c) \( \overline{\mathrm{A}} \cap \mathrm{B} \cap \mathrm{C} \)
d) \( \bar{A} \cap \bar{B} \cap C \).

Ansatz:

bei a) habe ich 190
bei b) habe ich 280

Answer 1

Ich habe mir ein kleines Venn-Diagramm erstellt und die Zahlen von innen nach außen gefüllt - bin also bei

n(A∩B∩C) = 20 gestartet:

a) n(A∪B) = 10 + 30 + 20 + 10

+ 50 + 20 =

140

Du hast dagegen die Schnittmenge doppelt gezählt!

b)

Hier ebenso, Du kannst ja nicht mehr Elemente in der Vereinigungsmenge von A, B und C haben, als insgesamt vorhanden sind.

n (A∪B∪C) = 180

c)

n(B∩C) = 20 + 20

Die 20 im Zentrum gehört aber zu A und muss deshalb subtrahiert werden, insgesamt also

n(¬A∩B∩C) = 20


d)

n(¬A∩¬B∩C) = 40

Denn von den 90 Elementen in B sind insgesamt 50 entweder auch in A oder in B oder in beiden.
Besten Gruß