Parabel dritter Ordnung

Question

Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei x=2 und schließt im 1.Quadranten mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt A=27 ein. Wie heisst die Gleichung dieser Parabel?

Answer 1

Hallo

f(x)=ax³+bx²+cx+d

 f(0)=0, berührt: f'(0)=0 daraus c und d

f'(2)=0 daraus Beziehung zwischen a und b, daraus die 2 te Nullstelle von f(x) (x² ausklammern)

 dann von 0 bis zu der zweiten Nullstelle integriere,  und =27 setzen, dadurch dann a und b.

Viel Erfolg lul

Answer 2

Eine Parabel 3. Ordnung
f ( x ) = a * x³ + b * x² + c * x + d
berührt die x-Achse im Ursprung,
f ( 0 ) = 0
f ´( 0 ) = 0
f ( x ) = a * x³ + b * x² + c * x + d
f ( 0) = a * 0 ³ + b * 0 ² + c * 0 + d
=> d = 0
f ( x ) = a * x³ + b * x² + c * x
f ´ ( x ) = 3a * x² + 2b * x + c
f ´ ( 0 ) = 3a * 0 ² + 2b * 0 + c = 0  => c = 0

f ( x ) = a * x³ + b * x²
hat ein Extremum bei x=2
f ´( 2 ) = 0
f ´ ( 2 ) = 3a *  2 ² + 2b * 2 = 0
12a + 4b = 0

und schliesst im 1.Quadranten mit der x-Achse
eine Fläche vom Inhalt A=27 ein.
Stammfunktion
F ( x ) = a * x⁴ / 4 + b * x³ / 3
Der Integrationsanfang ist x = 0
2.Nullpunkt
f ( x ) = a * x³ + b * x² = 0
a * x³ + b * x² = 0
x² * ( a * x + b ) = 0
satz vom Nullprodukt
x = 0  bekannt
ax + b = 0
x = -b/a

Fläche
[ a * x⁴ / 4 + b * x³ / 3 ] zwischen 0 und -b/a = 27
a * ( -b/a)⁴ / 4 + b * (-b/a)³ / 3 = 27
1/4 * b⁴ / a³  - 1/3 * b⁴ / a³ = 27
- 1/12 * ( b⁴ / a³ ) = 27
b⁴ / a³ = -324
b⁴ = -324 * a³
und
12a + 4b = 0

a = -4
b = 12

Die Grafik zeigt. Es könnte stimmen.
Bitte alles nachrechnen.
bei Bedarf fragen.
Entwickelt bei 30 ° Außentemperatur.

Answer 3

Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse im Ursprung, hat ein Extremum bei $x=2$ und schließt im 1.Quadranten mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt $A=27$ ein. Wie heißt die Gleichung dieser Parabel?

$f(x)=a•[x^2•(x-N)]$

$f´(x)=a•[2x•(x-N)+x^2•1]$

$f´(2)=a•[2•2•(2-N)+2^2]=a•[4•(2-N)+4]=0$  →  $N=3$

$f(x)=a•[x^2•(x-3)]=a•[x^3-3x^2]$

$27=\int\limits_{0}^{3}a•[x^3-3x^2]dx$

$\frac{27}{a}=[\frac{x^4}{4}-x^3]_0^3=\frac{81}{4}-27=-\frac{27}{4}$→$a=-4$

$f(x)=-4•x^2•(x-3)$