Analysis Aufgabe. Zwei unbekannte variablen und Winkel bestimmen

Question

Das Seil einer Hängerbrücke mit 200m Breite kann durch eine Kettenlinie angenähert werden.   

fc,a(x) = a/2c * ( e^cx + e^-cx )

a,c > 0    x in Metern sowie a,c

a) untersuche die Funktion fa,c auf Symmetrie.

b) Berechne das Minimum der Funktion.

c) bestimme die Werte a und c so, dass das Seil den tiefsten Punkt mit 5m erreicht und die beiden Aufhängepunkte einen Abstand von 200m und je 30m hoch sind.
Gib die zugehörige Funktionsgleichung an

d) Unter welchem Winkel sind die Seile an den Aufhängepunkten verankert ?

a] hier hab ich einfach den Ansatz genommen : fa,c(-x) und habe festgestellt dass die Funktion achsen.sy. Ist.

b] hier einfach die erstel ableitung gleich null gesetzt und die werte in die zweite Ableitung gesetzt und somit bekomme ich den max. Und mini. Wert.

c] HIER KOMME ICH NICHT WEITER ..

d] und hier ebenfalls :(

Welche Ansätze soll ich dafür vornehmen ?

Answer 1

also zu c) nutzt man die Eigenschaft aus, dass der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, d.h erste Ableitung wird hier nicht nötig sein, um die Koeffizienten zu bestimmen. In anderen Worten: f'(0)=0 ist zwar richtig, aber nicht nötig zu beachten. Wichtiger sind jedoch folgende zwei Eigenschaften, denn du brauchst zwei, um das entstehende Gleichungssystem von zwei Unbekannten gelöst zu bekommen.

Tiefster Punkt:

$$1.) f(0)=5$$

Aufhängepunkte:

$$2.) f(100)=f(-100)=30$$

Man hat dann folgendes Gleichungssystem:

$$1.) \frac{a}{2c}(e^{c\cdot 0}+e^{-c \cdot 0})=\frac{a}{c}=5 \Leftrightarrow a=5c$$

$$2.) \frac{a}{2c}(e^{c\cdot 100}+e^{-c \cdot 100})=30 \Rightarrow \frac{5}{2}\cdot (e^{c\cdot 100}+e^{-c \cdot 100})=30\\ \Leftrightarrow e^{c\cdot 100}+e^{-c \cdot 100}=12 \quad \Leftrightarrow \quad e^{c\cdot 100}+\frac{1}{e^{c \cdot 100}}=12\\ \Leftrightarrow e^{c\cdot 200}+1=12\cdot e^{c\cdot 100} \quad \Leftrightarrow \quad e^{c\cdot 200}-12\cdot e^{c\cdot 100}+1=0\\ \Leftrightarrow \Big(e^{100 \cdot c}\Big)^2-12\cdot e^{100 \cdot c}+1=0\\ \text{Substituiere }k:=e^{100c}$$

Dann ist:

$$k^2-12k+1=0 \Rightarrow k_{1,2}=6 \pm \sqrt{35}\\ \text{Rücksubstitution liefert dann }\\ \begin{aligned} k_1 :\qquad 6+\sqrt{35}&=e^{100c} \quad|\ln(.)\\ \ln(6+\sqrt{35})&=100c \quad|:100 \\ c_1:=c&=\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} k_2 :\qquad 6-\sqrt{35}&=e^{100c} \quad|\ln(.)\\ \ln(6-\sqrt{35})&=100c \quad|:100 \\ c_2:=c&=\frac{\ln(6-\sqrt{35})}{100} \end{aligned}$$

Es gehen beide Lösungen, denn wenn ich c2 nehme was negativ ist, dann ist nach 1.) a auch negativ und man hat wieder einen positiven Streckungsfaktor a/2c. Ich nehme jetzt einfach mal c1. Dann ist

$$a=5\cdot \frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100}=\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{20}$$

Und als Lösung hat man dann die Funktion:

$$f(x)=\frac{\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{20}}{2\cdot \frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100}}\cdot\Bigg(e^{\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100}\cdot x}+e^{-\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100} \cdot x}\Bigg)\\=\frac{\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{20}}{\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{50}}\cdot\Bigg(e^{\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100}\cdot x}+e^{-\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100} \cdot x}\Bigg)\\=\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{20} \cdot \frac{50}{\ln(6+\sqrt{35})}\cdot\Bigg(e^{\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100}\cdot x}+e^{-\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100} \cdot x}\Bigg)\\= \underline{\underline{2,5 \cdot \Bigg(e^{\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100}\cdot x}+e^{-\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100} \cdot x}\Bigg)}}$$

So nach dieser Rechenarbeit wird d sehr schnell gehen. Du bildest einfach die Ableitung davon und setzt jeweils die Stellen der Aufhängungspunkte ein, also x=-100 und x=100. Das ist dann:

$$f'(x)=2,5\cdot\Bigg(\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100} \cdot e^{\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100}\cdot x}-\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100}\cdot e^{-\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100} \cdot x} \Bigg)\\=\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{40}\cdot \Bigg(e^{\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100}\cdot x}-e^{-\frac{\ln(6+\sqrt{35})}{100} \cdot x} \Bigg)$$

Eingesetzt bekommt man dann:

$$f'(-100)\approx -0,733$$

$$f'(100)\approx 0,733$$

In Winkel umgerechnet ergibt das:

$$\arctan(0,733)\approx 36,24° \Rightarrow \alpha = 53,76° \text{ Winkel zwischen Seil und Pfeiler.}$$