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Ich habe eine Frage gibt es irgendwelche tricks um eine wurzel schneller zu teilen. Ich sitze da manchmal gefühlt ewig dran um die passenden zahlen zu finden !


Also zb wurzel von 108


Wäre ja wurzel von 36 mal wurzel von 3


Gibt es da einen weg diese zahlen schnell herausfinden?


Vielen Dank

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Beste Antwort

die Quersumme von 108  ist 9 ,also durch 3 teilbar

->

=√108= √3 *√36

=6 √3

------------------------------------

Meistens ist die Zahl durch 2 oder 3 teilbar.

Du findest schnell:

√108=√2 *√ 54

=√2 *√ 9 *√6

=√2 *√ 9 *√2 *√3

=2*3 *√3

=6 *√3

von 111 k 🚀
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  Teilbarkeitsregeln wären von Vorteil; allein zu diesem einen Punkt könnte ich eine gesonderte Vorlesung halten.  Weil ich hab Tricks drauf, die die Welt einfach nicht zur Kenntnis nimmt .

   Was euch eure Lerhrer   verschweigen, bei denen wieder mal alles im Chaos versinkt. Wurzel Ziehen setzt voraus, dass du die Primfaktorenzerlegung des Radikanden kennst.  Diesen Punkt gilt es erst mal einzusehen.


     108  =  9  *  12  =  3  ²  (  2  ²  *  3  )  =  2  ²  *  3  ³   (  1  )


  Weil die Primfaktoren erscheinen doch immer in ansteigender Reihenfolge sortiert.

    Beim Wurzel Ziehen ist das jedoch anders.  Da musst du darauf achten, dass gerade  Potenzen bzw. Exponenten immer vorne stehen;   alle Linearfaktoren kommen nach Hinten  -  unabhängig von der Größe des Faktors.  Diese Umordnung bezeichne ich als Normalordnung.

        Der Exponent von 2  ist 2 , also gerade . Also bleibt die 2 vorne wo sie ist .  Dagegen die 3 hat mit 3 einen ungeraden Exponenten .


        3  ³  =  3  ²  *  3       (  2  )


     Die gerade  Potenz  3  ²  kommt nach Vorne und der einsame Linearfaktor 3 nach Hinten.  In unserem Fall sieht das also faktisch so aus, als wenn du die 3 ³  auseinander fieselst:


      108  =  2  ²  *  3  ²  *  3      (  3a  )


     (  3a  )  ist jetzt die Normaldarstellung der 108  .  Was haben wir damit gewonnen?  Aus dem vorderen geraden Teil kannst du doch anstandslos die Wurzel ziehen .


      sqr  (  2  ²  *  3  ²  )  =  2  *  3  =  6      (  3b  )


      Und dann liest man sofort aus ( 3a ) ab


    sqr  (  108  )  =  6  sqr  (  3  )      (  4  )


     Darf ich mal fachsimpeln?  Die  Bedeutung des " teilweisen " Wurzel Ziehens für die Algebra ist gar nicht hoch genug einzuschätzen; so erfährst du z.B.  dass das   ( rationale ) Polynom


     x  ²  -  108  =  0        (  5a  )


    gelöst wird durch die ===>  Körpererweiterung


      |Q  (  3  ^  1/2   )      (  5b  )    

von 5,5 k

@habakuk...g: Jede auch noch so gründliche Erkärung kann die Frage provozieren: "Und warum?" Wenn man sich dagegen wappnen möchte, wird man nie fertig. Ein Lehrer lässt Erkärungen weg, wenn er die Antwort für selbstverständlich hält.Dabei kann er sich in Bezug auf einige Schüler durchaus irren.Aber was soll er tun, wenn seine Zeit begrenzt ist?

    Roland ich will dir mal eine Anekdote erzählen von meinem eigenen Matheschrat Rolf Thierbach .  Ich will gleich mal voraus schicken; Thierbach war  Scientologe . Ich glaube du weißt, was das bedeutet .

  Thierbach war der größte Dokumentenfälscher, der mir je begegnet ist.    In der Sexta besorgte er sich mal ein Schulheft und kopierte in meiner Handschrift alle meine bisherigen Klausuren ( In der laufenden hätte ich dann eine 3 gehabt; die ersten zwei Aufgaben richtig und die dritte nur angefangen. )

  Jedoch fälschte er die aktuelle Klausur so, dass ich das Ergebnis der ersten nicht hatte, die zweite überhaupt nicht und die dritte bloß angefangen -  5 .

  Seine Sekte hatte ihn mit dem Erziehungsziel beauftragt,  mir sei zu vermitteln, dass ich weder ein Überflieger noch ein Genie sei. Die damaligen Erfahrungen suchten mich traumatisch heim noch bis ins Studium. Sie sind die wesentliche Ursache meiner Zynismen,  über die ihr euch alle hier so angelegentlich ereifert.

  Was; du  hältst das bloß für eine Verschwörungsteorie?

  In Kl. 7  bewertete Thierbach eine Geometrieklausur auf Anweisung der Sekte so, dass er sämtliche Dreien auf 2 herauf setzte und all Zweien auf 3 runter -  den restliche Notenspiegel ließ er unverändert  .  Als Fachmann auch für Statistik,  der du ja zweifelsohne bist,  magst du die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass sowas aus Versehen passiert ...  ( weil grob fahrlässiges Handeln stellt ja für einen Beamten einen Frist losen Entlassungsgrund dar. )

  Bei Besprechung der Korrektur kommt das natürlich  raus ( Ich gehörte ausnahmsweise zu den Gewinnern. )

    Mit dem absehbaren Ergebnis,  dass mich ein Knabe am Verlassen des Klassenraums hinderte

  " Wenn du die Klappe gehalten hättest, hätte ich jetzt noch meine 2 - und dafür setzt es Klassenkeile, mein Lieber ... "

  Dies ist übrigens ein besonders schönes Beispiel für die Rolle des  ===>  Auditing bei cdden Scientologen.  Wir waren ja immerhin schon 13; sprich: Die Sekte will wissen,  ob sich unsere berühmte  "  sittliche Reife "    schon nennenswert über den Kindergarten erhoben hat ...

    Thierbach erwähne ich eigens, weil er der Schrat ist, bei dem ich die Primzahlen kennen lernen durfte.  Was du jetzt nicht wissen kannst:  Ein Großteil seines Unterrichts bestand darin, dass er uns ein sog.  "  Regelheft  "  diktierte;  von Zeit zu Zeit wurden diese eingesammelt, ob sie auch ordentlich geführt waren ...

  "  Eine größte natürliche Zahl gibt es nicht ... "

  Aus gegebenem Anlass schrieben wir mal eine Klausur, die aus nichts bestand außer auswändigem Zitieren der Bruchrechnungsregeln.  Nachdem ich also eine 1 geschrieben hatte, spottete Mutti in der Elternsprechstunde

  " DAS ist mir längst klar, dass mein Sohn weit besser ist im Romane Erzählen als om Kopf Rechnen ... "

  Und in der Rückschau fällt mir eben auf, dass den Primzahlen in diesem Regelheft so gar kein Kapitel gewidmet war.  Vielleicht war ich ja auch dümmer wie die Klasse;  1  X  1 konnte ich perfektamente .  Das Zahlen wie 23 , 29 und 31 nicht vorkommen in dieser Tabelle, hätte mich Zweifel los motiviert.

  Was Thierbach jetzt ( in der Sexta )  verkündet,  erschien mir der Art verworren, dass ich außer Stande bin, es zu wiederholen.  Seine Worte veranlassten jeden Falls die Klasse, auf Zuruf die Primzahlzerlegung her zu sagen . Er sagt z.B.  28 und ruft einen Knaben auf;  die Antwort wie aus der Pistole geschossen  "  2 ² * 7 "  Er sagt 72 und erhält die Antwort "  2 ³ * 3 ² "

  Mein Unverständnis für dieses Abrakadabra war der Art ungeheuer, dass ich noch in Kl. 1od einen ausgesprochenen Widerwillen gegen Primzahlen empfand.

  Und in der obigen Frage passiert doch nun ein ganz typischer "  Thierbach  "  ;  hier kannst du verfolgen, wie etwas unter den Teppich gekehrt wird.

  In unsewrem Regelheft stand z.B. drin

  " Bei Multiplikation von Brüchen ist vor dem Berechnen des Ergebnisses zu kürzen. "

  Auf diesen Paragrafen berief sich Thierbach Regel mäßig, wenn es in der Klausur wieder mal Strafpunkte hagelte -  einen halben Punkt pro Multiplikation .

  Genau so könnte ich mir ein Regelheft vorstellen, wo drinne steht

  " Das Radizieren aus rationalen Zahlen hat stets auszugehen von ihrer Primfaktorenzerlegung. "

  Weil machen wir uns nix vor.  Offenbar hat Thierbach bewiesen, dass die Mehrheit der Schüler ein intuitives Vorverständnis hat von dem Hauptsatz der Zahlenteorie .

  Dagegen spricht unser Fragesteller    " Gast "  Zweifel los für die Mehrheit der Schüler, wenn er betont, ihm sei jener Algoritmus völlig rätselhaft, wie man Wurzeln auszieht .   Seltsamer Weise hat außer mir auch noch niemand auf die Bedeutung dieser Primzahlzerlegung hingewiesen.

   Hey weißt du, was ich damit bewiesen habe?  Die Existenz einer Verschwörung unter Mathelehrtern.  Denn alle wissen es; keiner sagt es.  Sie alle haben beschlossen, die Schüler, die " zu dumm " sind, am langen Arme verhungern zu lassen ...

@Habakuk...g: Ich habe keine Lust,mir das alles durchzulesen. Kannst du dich auch kurz und bündig ausdrücken?

@Roland ich fasse mal für dich zusammen:

Habakuk leidet an einem Trauma, außerdem erzählt er gerne Romane.

@ Medicopter: Danke für die Zusammemfassung. Das Erzählen von Romanen scheint mir eine Folge seines Traumas zu sein.

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108=3·4·9

√108=√(3·4·9)=√3·2·3=6·√3

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"Gibt es da einen weg diese zahlen schnell herausfinden?"


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