Eigenschaften einer Folge von Spaltenvektoren nachweisen

Question

ich scheitere bei einer Aufgabe, wo ich überhaupt nicht weiß, wie ich ansetzen soll. Sie lautet:

Sei v ein Vektor. Wir betrachten die Folge v, Av, A^2v, A^3v.... Es sei:

Kann mir jemand bitte zeigen, wie man da beginnen muss?

LG Mathstiger

Answer 1

a) wären sie linear abhängig, dann gäbe es ein Element

v , Av , A^2v , .... , A^{m-1}v das sich als Linearkombination der übrigen

darstellen lässt, im Widerspruch zur Minimalität von m.

Comments

Vielen lieben Dank für deine Antwort, eigentlich eh ganz einfach!

Zu b.) hab ich auch noch eine Frage, kann ich so argumentieren: Wenn ich zeigen will, dass Uv unter A invariant ist, dann muss ich doch zeigen, dass ein Element angewandt auf A wieder im Unterraum Uv liegt. Das heißt ich nehme einen beliebigen Vektor aus Uv her, irgendeine Linearkombination, sei diese c. Und wende diese auf A an, das heißt: A*c --> da das Distributivgesetz und das Assoziativgesetz gilt, kann man das A in den Ausdruck rein multiplizieren und man erhält wieder einen Ausdruck aus Uv. v ist logischerweise drinnen und es ist auch der kleinste wegen der Minimums Eigenschaften von m.