Question

Für Primzahlen p>2 ist 24|(p³-p)

Ich soll hierzu einen Beweis führen und eine Wenn dann Aussage formulieren. Mit Beweisen habe ich noch Probleme, ich danke euch schon mal im voraus.

Comments

Alternativ setze $p=2q+1$ und erhalte $p^3-p=4q(q+1)(2q+1)=24\cdot\sum_{n=1}^qn^2\in24\mathbb Z$.

Answer 1

Hallo Ivy,

wenn es hier um Teilbarkeit geht, sollte man in dem Ausdruck $p^3-p$ nach Faktoren suchen. Offensichtlich kann man ja $p$ ausklammern: $$p^3-p=p(p^2-1)$$ und der zweite Faktor ist nach der dritten binomischen Formel ebenso zu zerlegen $$p^3=p(p^2-1)= p(p-1)(p+1)$$

So haben wir schon mal einen Ausdruck mit drei Faktoren vor uns. Diese drei Faktoren sind drei aufeinanderfolgende Zahlen. Folglich ist genau eine von ihnen durch 3 teilbar.

Die beiden Zahlen $p-1$ und $p+1$ sind beide gerade, da $p$ selbst ungerade ist. Sie sind also beide durch 2 teilbar. Teilt man sie gar durch 4 so bleibt als Rest entweder die 0 oder die 2. Wenn nun

$$p-1 \equiv 2 \mod 4$$ ist, dann muss zwangsläufig

$$p+1 \equiv 0 \mod 4$$ sein. Oder eben umgekehrt. Das heißt eine der beiden ist nicht nur gerade - also durch 2 teilbar - sondern auch durch 4. Zusammen mit der Teilbarkeit durch 2 der ersten Zahl und der Teilbarkeit durch 3 ergibt sich dann

$$2 \cdot 4 \cdot 3 = 24 \mid p^3-p = p(p-1)(p+1)$$

Answer 2

Bedenke  p³ - p = p*(p-1)*(p+1)

und p-1 und p+1 sind Vorgänger und Nachfolger einer

(ungeraden) Primzahl, also jedenfalls durch 2 teilbar, eine

davon sogar durch 4.  Also ist das Produkt durch 8 teilbar.

Außerdem ist von den drei aufeinanderfolgenden Zahlen mindestens

eine durch 3 teilbar. Damit hast du die Teilbarkeit durch  3*8 = 24