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Es seien f, g : E → E (E bezeichnet den offenen Einheitskreis) zwei bijektive
holomorphe Funktionen, für die f(0) = g(0) und f '(0) = g '(0) ≠ 0 gilt. Zeigen Sie, daß
dann f und g identisch sein müssen.

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\(f, g : E\to E\) sollen bijektive holomorphe Funktionen sein. Demnach sind \(f, g\in \text{Aut}(E)\) Automorphismen der offenen Einheitskreisscheibe. Damit gibt es \(\lambda, \mu \in \left[0, 2\pi\right[\) und \(a, b\in E\) mit \[f(z) = \text{e}^{\text{i}\lambda}\cdot\frac{z-a}{1-\overline{a} z}, \quad g(z) = \text{e}^{\text{i}\mu}\cdot\frac{z-b}{1-\overline{b} z}\] für alle \(z\in E\).

Nun soll \(f(0) = g(0)\) sein. Daher erhält man: \[\text{e}^{\text{i}\lambda}\cdot(-a) = \text{e}^{\text{i}\mu}\cdot(-b) \text{.}\]

Es ist \[f'(z) = \text{e}^{\text{i}\lambda}\cdot \frac{-a \cdot (1-\overline{a}z)- (z-a)\cdot(-\overline{a})}{(1-\overline{a}z)^2}\] für alle \(z\in E\), also \[f'(0) = \text{e}^{\text{i}\lambda}\cdot\frac{-a-(-a)\cdot(-\overline{a})}{1^2}= \text{e}^{\text{i}\lambda}\cdot\frac{-a-(-a)\cdot(-\overline{a})}{1^2} = \text{e}^{\text{i}\lambda}\cdot(-a)\cdot(1+\overline{a})\text{.}\]

Anaolg ist \[g'(0) = \text{e}^{\text{i}\mu}\cdot(-b)\cdot(1+\overline{b})\text{.}\]

Nun soll \(f'(0) = g'(0)\) sein. Daher erhält man:

\[\text{e}^{\text{i}\lambda}\cdot(-a)\cdot(1+\overline{a}) = \text{e}^{\text{i}\mu}\cdot(-b)\cdot(1+\overline{b})\]

Wegen \(\text{e}^{\text{i}\lambda}\cdot(-a) = \text{e}^{\text{i}\mu}\cdot(-b) \) folgt: \[\text{e}^{\text{i}\mu}\cdot(-b)\cdot(1+\overline{a}) = \text{e}^{\text{i}\mu}\cdot(-b)\cdot(1+\overline{b})\]

Es ist \(\text{e}^{\text{i}\mu}\cdot(-b)\ne 0\), da sonst \(g'(0) = \text{e}^{\text{i}\mu}\cdot(-b)\cdot(1+\overline{b}) = 0\) wäre, was im Widerspruch zur Forderung \(g'(0)\ne 0\) wäre. Daher kann man durch \(\text{e}^{\text{i}\mu}\cdot(-b)\) dividieren und erhält:

\(1 + \overline{a} = 1+ \overline{b}\)

Damit erhält man dann \(\overline{a} = \overline{b}\) bzw. dann auch \(a = b\).

Setzt man \(a = b\) in die Gleichung \(\text{e}^{\text{i}\lambda}\cdot(-a) = \text{e}^{\text{i}\mu}\cdot(-b)\) ein erhält man: \[\text{e}^{\text{i}\lambda}\cdot(-b) = \text{e}^{\text{i}\mu}\cdot(-b)\]

Es ist wieder \(-b \ne 0\), da sonst \(g'(0) = \text{e}^{\text{i}\mu}\cdot(-b)\cdot(1+\overline{b}) = 0\) wäre, was im Widerspruch zur Forderung \(g'(0)\ne 0\) wäre. Daher kann man durch \(-b\) dividieren und erhält: \[\text{e}^{\text{i}\lambda} = \text{e}^{\text{i}\mu}\]

Wegen \(\text{e}^{\text{i}\lambda} = \text{e}^{\text{i}\mu}\) und \(a = b\) ist schließlich \[f(z) = \text{e}^{\text{i}\lambda}\cdot\frac{z-a}{1-\overline{a} z} = \text{e}^{\text{i}\mu}\cdot\frac{z-b}{1-\overline{b} z} = g(z)\] für alle \(z\in E\), also \(f = g\).

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Eine andere Idee, die nicht die genaue Kenntnis benötigt, von welcher Form die Automorphismen der Einheitskreisscheibe sind. Stattdessen wird das Lemma von Schwarz benuzt ...

Betrachte die biholomorphe Abbildung \(h : E \to E\) welche durch \(h = g^{-1}\circ f\) gegeben ist.

Wegen \(f(0) = g(0)\) erhält man: \[h(0) = g^{-1}\left(f\left(0\right)\right)=g^{-1}\left(g\left(0\right)\right) = 0\]

Nach Kettenregel und Umkehrregel bzw. Satz von der Umkehrabbildung \[h'(0) = \left(g^{-1}\right)'(f(0))\cdot f'(0) = \frac{1}{g'(g^{-1}(f(0)))}\cdot f'(0) = \frac{f'(0)}{g'(g^{-1}(f(0)))} = \frac{f'(z)}{g'(h(0))} = \frac{f'(0)}{g'(0)} = \frac{g'(0)}{g'(0)} = 1\text{.}\]

Da \(h : E \to E\) eine holomorphe Funktion mit \(h(0) = 0\) und \(|h'(0)| = 0\) ist, ist \(h\) nach Lemma von Schwarz eine Drehung. Das heißt, dass es ein \(\lambda\in\left[0, 2\pi\right[\) mit \[h(z) = \text{e}^{\text{i}\lambda}\cdot z\] für alle \(z\in E\) gibt. Dann ist \[h'(z) = \text{e}^{\text{i}\lambda}\] für alle \(z \in E\), weshalb mit \(h'(0) = 1\) folgt, dass \[h(z) = z\] für alle \(z\in E\) ist. Daher ist \[h = \text{id}_{E}\text{.}\]

Schließlich ist dann \[f = g\circ g^{-1}\circ f = g\circ h = g\circ \text{id}_{E} = g\text{.}\]

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