Rauminhalt bei Drehkörper

Question

Berechnen Sie das Volumen der durch die Funktion und die angegebenen Grenzen bestimmten Drehkörper.

1. Berechnen Sie das Volumen eines Fasses (d_o;u= 50 cm; d_M = 70 cm; h = 120 cm), dessen Form durch Rotation eines Teiles einer Ellipse$$ f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a²-x²}    ;a\neq0$$ entsteht.

Answer 1

Hallo

1. Schritt: bestimmen von a und b, den Achsen der Ellipse  b ist mit d_m=2b direkt gegeben.

a kann man berechnen, weil bei x=h/2 y=d_o/2=25cm ist. -h/2 und +h/2 sind dann such die Integrations- Grenzen und das Rotationsvolumen  mit

π* ∫f²(x)dx kannst du dann hoffentlich bestimmen?

Gruß lul

Answer 2

do;u= 50 cm
dM = 70 cm;
h = 120 cm

( -0.6 | 0.5 )
( 0 | 0.7 )
( 0.6 | 0.5 )

a= 0.857
b = 1.05

f ( x ) = 0.857 / 1.05 * √ ( 0.857^2 - x^2 )
A ( x ) = [ f ( x ) ] ^2 * π
A ( x ) = π * ( 0.49 - 2/3 * x^2 )
Stammfunktion
S ( x ) = ∫ A ( x ) dx = 1.54 * x - 0.7 * x^3
Volumen
V ( x ) = S ( x ) zwischen -0.6 und 0.6
V ( x ) = 1.55 m^3

Comments

Wie kommst sie auf a und b?

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Aussagen
o;u= 50 cm
dM = 70 cm;
h = 120 cm

( -0.6 | 0.5 )
( 0 | 0.7 )
( 0.6 | 0.5 )

f ( x ) = a / b * √ ( a^2 - x^2 )

Einsetzen
f ( 0 ) = a / b * √ ( a^2 - 0^2 ) = 0.7
f ( 0 ) = a / b * a = 0.7
a^2 / b = 0.7
b = a^2 / 0.7

f ( 0.6 ) = a / b * √ ( a^2 - 0.6^2 ) = 0.5
a / ( a^2/ 0.7 ) * √ ( a^2 - 0.6^2 ) = 0.5
0.7 / a * √ ( a^2 - 0.6^2 ) = 0.5
 √ ( a^2 - 0.6^2 ) = 0.5 * a / 0.7 | quadrieren
a^2 - 0.36  = 0.51 * a^2
0.49 * a^2 = 0.36
a^2 = 0.735
a = 0.857

b = a^2 / 0.7
b = 0.857 ^2 / 0.7
b = 1.05

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Hallo Georg,

f ( x ) = a / b * √ ( a^{2} - x^{2} )

oben steht b/a .. aus f(0)=0,7m würde dann b=0,7m folgen.

d_o;u= 50 cm
d_M = 70 cm

d klingt eher nach Durchmesser denn nach Radius, auch wenn es in der Aufgabenstellung nicht explizit angegeben ist; es hieße dann f(0)=0,35m. Siehe auch luls Antwort.

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Hallo Werner,
d klingt tatsächlich mehr nach Durchmesser
eines realen Fasses.

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Hallo Fragesteller,

es kann auch weniger aufwendig gerechnet
werden

a / b * √ ( a^2 - 0^2 ) = 0.7
a / b * √ ( a^2 - 0.6^2 ) = 0.5  | teilen a/b : a/b = 1
---------------------------------
√ ( a^2 ) / √ ( a^2 - 0.6^2 ) = 0.7/ 0.5
√ [ ( a^2 ) / ( a^2 - 0.6^2 ) ] = 1.4 | quadrieren

a^2 / ( a^2 - 0.36 ) = 1.96
a^2 = 1.96 * a^2 - 1.96 * 0.36
-0.96 a^2 = -0.7056
a^2 = 0.735
a = 0.857

Falls du die Aufgabe richtig rechnen willst
( siehe meinen Kommentar eins höher )
dann rechne

a / b * √ ( a^2 - 0^2 ) = 0.35
a / b * √ ( a^2 - 0.6^2 ) = 0.25