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Man betrachte zwei 4-seitige, gezinkte Würfel. Beide haben die Ziffern 1, 2, 3, 4

aufgedruckt. Die Wahrscheinlichkeiten der Augenzahlen sind den folgenden Tabellen zu entnehmen:

Würfel A:
x         1        2        3        4
PA(x)  0.02   0.19   0.22   0.57


Würfel B:
x        1        2        3        4
PB(x) 0.02   0.17   0.66   0.15


Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Würfel A, wenn beide Würfel einmal geworfen werden und die höhere Augenzahl gewinnt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

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Sei \(A\) eine Zufallsvariable, welche die Augenzahl von Würfel A bei einem Würfelwurf beschreibt.

Sei \(B\) eine Zufallsvariable, welche die Augenzahl von Würfel B bei einem Würfelwurf beschreibt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit \(P\left(A > B\right)\)?

(Dabei wird angenommen, dass \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig voneinander sind.)

\[\begin{align*}P(A>B)  = & \sum_{a\in\left\lbrace1, 2, 3, 4\right\rbrace\\b\in\left\lbrace1, 2, 3, 4\right\rbrace\\a>b}P\left(A = a, B = b\right) = \sum_{a =2}^{4}\sum_{b = 1}^{a - 1}P\left(A = a, B = b\right) \\  = &\  \sum_{a =2}^{4}\sum_{b = 1}^{a - 1}P\left(A = a\right) \cdot P\left(B = b\right) = \sum_{a =2}^{4}\sum_{b = 1}^{a - 1}P_A\left(a\right) \cdot P_B\left(b\right) \\ = &\  P_A\left(2\right)\cdot P_B\left(1\right) + P_A\left(3\right)\cdot P_B\left(1\right) + P_A\left(3\right)\cdot P_B\left(2\right) \\ & + P_A\left(4\right)\cdot P_B\left(1\right) + P_A\left(4\right)\cdot P_B\left(2\right) + P_A\left(4\right)\cdot P_B\left(3\right) \\ = &\  0.19\cdot 0.02 + 0.22\cdot 0.02 + 0.22\cdot 0.17 \\ & + 0.57\cdot 0.02 + 0.57\cdot 0.17 + 0.57\cdot 0.66 \\  = &\  0.5301 = 53.01\,\%\end{align*}\]

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