Gegeben sei die Gerade g durch P1 (1;2;1) und P2 (2;2;3) . Wo schneidet sie die Ebene

Question

Hallo

Wie gehe ich hier vor?

Erst die Geradengleichung aufstellen und dann?

Gegeben sei die Gerade g durch P1 (1;2;1) und P2 (2;2;3) . Wo schneidet sie die Ebene,die durch die Winkelhalbierende zwischen y- und z-Achse geht und senkrecht auf der y-z-Ebene steht?

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Jetzt noch die Ebene aufstellen

Ebene,die durch die Winkelhalbierende zwischen y- und z-Achse geht und senkrecht auf der y-z-Ebene steht

Answer 1

Ja; stelle die Gleichung für die Gerade $$\begin{aligned} g: \space x &= P_1 + t \cdot (P_2 - P_1) \\ &= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\end{pmatrix} + t \cdot \left( \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\end{pmatrix}\right) \\ &= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2\end{pmatrix} \end{aligned}$$ auf und anschließend die für die Ebene \(E\). Wenn \(E\) senkrecht auf der y-z-Ebene steht, so muss sich ihr Normalenvektor in der y-z-Ebene befinden. D.h. Die x-Koordinate des Normalenvektors ist =0. Wenn \(E\) die Winkelhalbierende der y-z-Ebene enthält, so liegt der Vektor \(\begin{pmatrix} 0 & 1& 1 \end{pmatrix}^T\) in dieser Ebene und der Vektor  \(\begin{pmatrix} 0 & -1& 1 \end{pmatrix}^T\) steht senkrecht darauf. Also ist

$$E: \space \begin{pmatrix} 0 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix} x = 0$$ Einsetzen von \(g\) gibt

$$\begin{pmatrix} 0 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}\right) = 0 \quad \Rightarrow -1 + 2t=0 \, \Rightarrow t=\frac12$$ Der gesuchte Schnittpunkt \(S\) ist demnach

$$S = g(t=\frac12) = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\end{pmatrix} + \frac12 \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 1,5\\ 2\\ 2\end{pmatrix}$$ Das ganze sieht im Geoknecht3D so aus:

(klick auf das Bild)

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Vielen dank für die Antwort,

Eine Frage hätte ich noch, warum wird -1+2t null gesetzt?

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Eine Frage hätte ich noch, warum wird -1+2t null gesetzt?

Oh - ich glaube hier liegt ein Missverständnis vor. Nochmal ganz langsam; da ist die Gleichung für die Ebene \(E\)

$$E: \space \begin{pmatrix} 0 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix} x = \colorbox{#ffff00}{0}$$

der Wert rechts ist \(0\), da die Ebene \(E\) durch den Ursprung \(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\end{pmatrix}^T\) geht, bzw. den Ursprung enthält. Und da ist die Gleichung für die Gerade \(g\)

$$g: \space x= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}$$ der gesuchte Schnittpunkt \(S\) muss sowohl in der Ebene liegen - also die Ebenengleichung erfüllen - als auch auf der Geraden liegen. D.h. es existiert ein Wert für \(t\), so dass aus dem \(x\) der gesuchte Schnittpunkt \(S\) wird.

$$S = \begin{pmatrix} 1,5\\ 2\\ 2\end{pmatrix}$$

Dieser Punkt \(S\) erfüllt genau diese Anforderungen. Probiere es mal aus; setzte ihn in die Gleichungen von \(E\) und \(g\) ein.

Man erhält \(S\) indem man die beiden Vektoren \(x\) in Ebenen- und Geradengleichung gleich setzt - muss ja derselbe Punkt sein. Genau das habe ich hier gemacht:

$$\begin{pmatrix} 0 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2\end{pmatrix}\right) = \colorbox{#ffff00}{0}$$ oben siehst Du die Gleichung der Ebene \(E\), in die ich die Gleichung der Geraden \(g\) eingesetzt habe. Und wenn man nun die Klammern auflöst

$$\begin{pmatrix} 0 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2\end{pmatrix} = \colorbox{#ffff00}{0}$$ und die Skalarprodukte ausmultipliziert

$$(0 \cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 1\cdot 1)  + t \cdot (0 \cdot 1 + (-1)\cdot 0 + 1\cdot 2)=\colorbox{#ffff00}{0}$$ erhält man schlußendlich

$$-1 + t \cdot 2 = \colorbox{#ffff00}{0}$$ ich habe nichts zu 0 gesetzt! Die \(0\) war von Anfang an da und wenn dort ein anderer Wert gestanden hätte, so würde der jetzt da stehen.

Gruß Werner