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Die Unbekannte a ist so berechnen, dass die Gleichung eine Lösung in x hat: √(x+a) = √(ax)

Ich habe zuerst einmal quadriert, aber dann gibt es irgendwie eine ganz lange Rechnung, die ich nicjt richtig nach x auflösen kann.

Danke für eure Hilfe.

von

Schreibe deine Frage jeweils bitte nochmals in das untere Feld. Vielleicht nicht ganz an den Anfang. In der Überschrift wurde dein a jetzt zwei mal in ein A umgewandelt. Habe das bei diesen beiden Fragen korrigiert.

1 Antwort

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hier gibt es nicht viel zu rechnen.

$$ \begin{aligned} \sqrt{x+a}&=\sqrt{ax} \qquad|\uparrow^2\\x+a&=ax \quad\qquad|-x\\a&=ax-x\\\Leftrightarrow a&=x(a-1)\quad|:(a-1)\\x&=\frac{a}{a-1},\quad a\neq 1 \end{aligned} $$

von 12 k

Da das Quadrieren i.A. keine Äquivalenzumformung ist, fehlt in der Rechnung noch etwas.

Meinst du PlusMinus vor der Wurzel???

Na, für a=1/2 ergibt sich x=-1, wobei die Gleichung zwar formal erfüllt wird, aber gar nicht definiert ist.

Stimmt. Danke. Aber wie würdest du diese Gleichung dann lösen?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=√(ax)+%3D+√(a+%2B+x)

Skärmavbild 2018-06-17 kl. 14.15.01.png

WA schreibt einfach mal hin, was bei Zwischenresultaten angenommen wird.

Der Fragesteller kann ja Fallunterscheidungen ergänzen, falls eine allgemeinere Lösung gewünscht ist.

Auf die Lösung bin ich auch gekommen, nur habe ich nicht gesehen, dass für a=1/2 x=-1 wäre. Erst als mich Gast az0815 darauf hingewiesen hast, habe ich es auch bemerkt.

Ich habe gerade meinen Kommentar bearbeitet. mathelounge erlaubt mir nicht mehr im ersten Anlauf ein Bild einzubinden. Das geht interessanterweise nur noch im Bearbeitungsmodus :) 

Der erste Hinweis stammte nicht von mir.

Das habe ich erst bemerkt, als ich mein Kommentar abgeschickt hatte. Sorry.

Was ist denn "eine Lösung in x" genau?

Dasselbe wie " eine Lösung x"  hat?

Vorgehen wie hier: https://www.mathelounge.de/552742/berechnen-dass-gleichung-mindestens-eine-losung-haben-muss

Ich werde nur selbst nicht schlau, wie man denn bitteschön sehen soll, dass die Gleichung für a=0,5 x=-1 liefert?

Das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, ist mir wohlwollend bewusst! Nur wie soll man das nächste a, also 0,5 herbekommen?

Jede Lösung der Gleichung muss im Definitionsbereich der Gleichung liegen.

@h.hallo.JPG 

gilt auch für Wurzelfunktionen

Das ist mir auch bewusst. Hast du die Lösung nochmal in die Ausgangsfunktion eingesetzt und dann festgestellt, dass für a=0,5 x=-1 ergibt oder wie hast du das herausgefunden?

Ja ich habe die Funktionen auch plotten lassen. Nur so habe ich es erst gesehen.

Also. Ich habe habe mal die Lösung $$ x=\frac{a}{a-1} $$in die Ausgangsterme eingesetzt und diese dann interpretiert. $$ \sqrt{x+a}= \sqrt{\frac{a}{a-1}+a}= \sqrt{\frac{a-a^2-a}{a-1}}\\=\sqrt{\frac{a^2}{a-1}}=\frac{a}{\sqrt{a-1}},a>1 $$ Und $$ \sqrt{ax}=\sqrt{a\cdot\frac{a}{a-1}}=\sqrt{\frac{a^2}{a-1}}\\=\sqrt{\frac{a^2}{a-1}}=\frac{a}{\sqrt{a-1}},a>1 $$

Dann sollten jetzt all die Werte für a ersichtlich sein, die man nicht einsetzen darf.

Meine Überlegungen waren in etwa so: In der Gleichung
$$\sqrt{x+a}=\sqrt{ax}$$über der Menge der reellen Zahlen ist die Gleichung für \(x=a=0\) offenbar definiert und die Lösung in \(x\) ist natürlich \(x=0\).

Abgesehen davon ist die rechte Seite nur definiert, wenn \(a\) und \(x\) vorzeichengleich sind. Damit auch die linke Seite definiert ist, muss das gemeinsame Vorzeichen ein \(+\) sein. Daher muss dann \(a\gt 0\) und \(x\gt 0\) gelten, damit die gesamte Gleichung definiert ist.

Weiter gibt es offenbar für \(a=1\) kein \(x\), das die Gleichung erfüllt, sodass sich nach Radikandenvergleich zusammen mit dem vorher gesagten
$$x=\frac{a}{a-1} \quad\text{und}\quad a\gt 1\quad\text{oder}\quad x=a=0$$ergibt.

Ich konnte es lösen. Vielen Dank für all eure Hilfe.

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