Äußere Ableitung einer Differentialform unklar

Question

Habe im Skript ein Beispiel zur äußeren Ableitung einer Differentialform gefunden und verstehe nicht wie man auf die Ableitung kommt.

ω=e^x dx+xe^-y dz

dω=-e^-y dx∧dz-xe^-y dy∧dz

Komme mit der Formel für die äußere Ableitung noch nicht ganz klar.

Wäre super wenn mir jemand den weg von ω zu dω erklären könnte.

Gruß

Answer 1

man kann eine gute Vorstellung von der Berechnung der äußeres Ableitung hier https://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_derivative#In_terms_of_local_coordinates in lokale Koordinaten sehen und dann auch die zwei Beispiele nebenbei können sehr nützlich sein.

Nun zu deiner Frage:

Es ist ω = e^xdx + xe^-ydz, und wir berechnen dω mittels der Formel der Darstellung in lokalen Koordinaten, womit unsere n gleich 3 ist und x₁=x, x₂=y und x₃=z. Also gilt:

dω = (\( \frac{∂e^x}{∂x} \) dx∧dx + \( \frac{∂e^x}{∂y} \) dy∧dx + \( \frac{∂e^x}{∂z} \) dz∧dx) + (\( \frac{∂x e^{-y}  }{∂x} \) dx∧dz + \( \frac{∂x e^{-y}  }{∂y} \) dy∧dz + \( \frac{∂x e^{-y}  }{∂z} \) dz∧dz)

⇔ dω = 0 + 0 +0 + \( e^{-y} \) dx∧dz + (−x·\( e^{-y} \) dy∧dz) + 0

⇔ dω = \( e^{-y} \) dx∧dz − x·\( e^{-y} \) dy∧dz