Spur und Determinante durch Eigenwerte ausdrücken.

Question

"Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und L ∈ L(V ) diagonalisierbar mit Eigenwerten λ1, . . . , λr
und geometrischen Vielfachheiten n1, . . . , nr. Drucken Sie det(L) durch die Eigenwerte
von L aus."

Ich wollte nur wissen, ob diese Aufgabe letztendlich wirklich so kurz ist oder ob ich irgendetwas übersehe.

Sei A die zu L gehörige Abbildungsmatrix und D die Matrix bezüglich der Eigenwerte

$$ det(A)=det(SDS^{-1})= det(S)det(D)det(S^{-1})=det(E)det(D)=det (D)=\prod \limits_{j=1}^{n}\lambda_j$$

Aus det (D=

Answer 1

Hallo

wenn du nur die geometrische Vielfachheit hast kannst du die det so nicht ausrechne. einfachsts Beispiel 2 x 2  matrix, erste Zeile a 1, zweite 0 a

 einziger Eigenwert a geometrische Vielfachheit 1, algebraische 2 det =a^2 und nicht a.

da es nur r EW sind müssen einige algebraisch mehrfach sein.

Gruß lul