Lösen Sie nach x auf. 100(x-10) e^{-0,05x} + 10000 = 10100

Question

f(x) = 100(x-10) e^{-0,05x} + 10000

f(x) = 10100

Answer 1

100·(x - 10)·e^{- 0.05·x} + 10000 = 10100

Das kann man nur numerisch lösen weil x als Faktor und im Exponenten auftritt

Ich erhalte z.B.

x = 11.80438388 oder x = 86.83257400

Answer 2

100*(x-10)*e^{-5/100*x}+10000=10100 | -10000
100*(x-10)*e^{-5/100*x}=100 |/100
(x-10)*e^{-5/100*x}=1
http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html
§5 mit a=5/100, b=1; c=-10
x=-LambertW(-½ ± ½ , -a/[b*e^{a*c/b}]) /a - c/b
x=10 - 20 LambertW(n,-sqrt(e)/20)
x=10-20*LambertW(n,-0.0824360635350064073424325393907081785826888)

n | x[n]=10 - 20 W(n,-0.0824360635350064073424325393907081785826888)
-2 | 103.0532028700216659310517369183477793 + 145.71316995737964115956210643 i
-1 | 86.83257375277382042392905631530835465
0 | 11.80438388239065347626876351672992973
1 | 103.0532028700216659310517369183477793 - 145.71316995737964115956210643 i
2 | 113.6995884467262218258384098085465714 - 275.54436211452945633371729765 i

Probe:
(x-10)*e^{-5/100*x} -> für alle 5 x[n] ergibt das 1
und mit 1*100+10000 =10100

Für Leute, die noch keine komplexen Zahlen hatten, bleiben nur 2 reelle Lösungen.

Comments

Lambert dürfte eine Nummer zu groß sein und kommt nur bei Studenten infrage.

Üblich ist ein Näherungsverfahren, denke ich. (Newton) :)