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ich soll: $$m \cdot \ln{\left( \frac{m+n}{m}\right)} - m \le \ln{\begin{pmatrix}m+n \\ m \end{pmatrix}}$$

abschätzen. Nur komm ich nicht wirklich weiter. Habe:

\(m\cdot(\ln(m+n)-\ln(m)-1)\) und dann hab ich gesagt, dass \(\ln(m)<\ln(m+n)\), aber ob das weiterhilft...

Würde mich über Hilfe freuen

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Soll der Binomialkoeffizient sein

Was, wo?

Vielleicht: Das Argument des ln auf der rechten Seite der Ungleichung und links ist das Argument des ln noch ein Bruch?

rechte Seite

@az0815: Ich glaube, das wurde seit gestern redigiert. Besteht das Problem immer noch?

Ich sehe

Skärmavbild 2018-06-29 kl. 14.21.40.png

und keine Fehlermeldung in safari.

Mit Google Chrome 67, meinen Firefox (akt. Version) und dem Explorer 11 funktioniert es. Nur der Explorer braucht deutlich länger bei der Darstellung

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Beste Antwort

Hallo Sonnnblume,

die Aufgabe ist ein wenig tricky. Ich habe eine Lösung gefunden, die aus drei Schritten besteht. Wobei ich davon ausgehen dass \(n,m \in \mathbb{N}\)

1.Schritt: bringe alles unter einen Logarithmus, durch folgende Umformung der linken Seite:

$$m \cdot \ln{\left( \frac{m+n}{m}\right)} - m \\ \begin{aligned}  \space &= m \left( \ln{\left( \frac{m+n}{m}\right)} - \ln e\right) \\ &= m \cdot \ln{\left( \frac{m+n}{e \cdot m}\right)} \\ & = \ln{\left( \left( \frac{m+n}{e \cdot m} \right)^m\right)} \end{aligned}$$ da der Logarithmus stetig monoton steigend ist, reicht es daher aus zu zeigen, dass

$$\left( \frac{m+n}{e \cdot m} \right)^m \le {m + n \choose m}$$

2. Schritt: Zeige unter der Voraussetzung, obige Ungleichung gilt, dass sie auch für \( m \rightarrow m+1\) korrekt ist. Dazu ersetze ich \(m\) durch \(m+1\): $$\left( \frac{m+1+n}{e \cdot (m+1)} \right)^{m+1} \le  {m +1 + n \choose m + 1} = {m + n \choose m} \cdot \frac{m+1+n}{m+1}$$ Jetzt ist aber $$\frac{m+1+n}{e \cdot (m+1)} \lt \frac{m+n}{e \cdot m}$$ (das zu zeigen, schaffst Du allein). Und somit reicht es wieder zu zeigen, dass

$$\left( \frac{m+n}{e \cdot m} \right)^{m} \cdot \left( \frac{m+n}{e \cdot m} \right) \le {m + n \choose m} \cdot \frac{m+1+n}{m+1}$$ Wenn ich nun annehme, dass die Ausgangsungleichung erfüllt ist, dann ist diese Ungleichung erfüllt, wenn

$$\frac{m+n}{e \cdot m}  \le \frac{m+1+n}{m+1}$$

(das schaffst Du wieder allein)   ;-)

Was hat das jetzt gebracht? Ich habe gezeigt, dass die Ungleichung für \(m+1\) gilt, wenn sie für \(m\) gilt. Oder umgekehrt, wenn die Ungleichung für \(m=1\) gilt, dann gilt sie auch für \(m=2\). Und wenn sie für \(m=2\) gilt, dann auch für \(m=3\) usw. also für alle \(m \in \mathbb{N}\). Bleibt nur noch:

3. Schritt: Zeige, dass die Ungleichung für \(m=1\) gilt (und das ist einfach)

$$ \frac{1+n}{e}  \le {1 + n \choose 1} = n+1$$ q.e.d.

Avatar von 48 k

Erstmal vielen Dank! Warum genau brauch ich Schritt 3?

Nun - Du musst ja zeigen, dass es für \(m=1\) stimmt. Das hatte ich ja weiter oben ohne Beweis voraus gesetzt.

Im Grunde ist das ein Beweis durch vollständige Induktion. Man zeigt zunächst, dass es für \(m=1\) stimmt und anschließend macht man den Übergang zu \(m+1\), womit gezeigt wird, dass es für alle \(m\) stimmt. Also Schritt 3 ist der Induktionsanfang und Schritt ist der Induktionsschritt.

Gruß Werner

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Hallo

1. ich würde das links mit m*ln(m+n)/m)=ln(m+n)^n/m^m schreiben, und rechts den Binomialkoeffizeinten durch die fakultäten ersetzen. damit sollte sich dann eine abschätzung ergeben.

Gruß lul

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