Ich halte das auch für ziemlichen Wirrwarr. Wie wird die Matrix aussehen?
P = a b
c d ( 1 )
Physiker bezeichnen eine Spiegelung als ===> Parität . Jetzt hast du die Gerade x1 = 2 x2 ; also ein primitiver Vektor wäre
e_1 = ( 2 | 1 ) ( 2 )
Ein Vektor in richtung der Spiegelachse hat doch Eigenwert Eins; ändert sich nicht:
2 a + b = 2 ( 3a )
2 c + d = 1 ( 3b )
Kenntnisse aus der Elementargeometrie; den Vektor, der auf ( 2 ) senkrecht steht, bekommst du, indem du a) die Komponenten vertauschst und b) das Vorzeichen umdrehst:
e_2 = ( 1 | - 2 ) ( 4 )
e_2 muss Eigenvektor zum Eigenwert Minus Eins sein, weil er ja gespiegelt wird:
a - 2 b = ( - 1 ) ( 5a )
c - 2 d = 2 ( 5b )
Unser LGS separiert; als Erstes lösen wir ( 3a;5a )
a = 3/5 ; b = 4/5 ( 6a )
( 3b;5b ) entsprechend
c = 4/5 ; d = ( - 3/5 ) ( 6b )
und damit
P = 1/5 ( 3 4 )
( 4 - 3 ) ( 7a )
folgende hinreichende Proben:
1) P muss ===> Hermitesch sein <===> Die Hauptachsen bilden eine ONB ( Wir hatten das ja extra so gemacht, dass sie aufeinander senkrecht stehen ) UND ihre Eigenwerte sind reell.
2) Die ===> Spur als summe der Eigenwerte muss Null sein. Perfektamente.
3) Die ===> Determinante als Produkt der Eigenwerte muss Minus Eins sein ( Achtung; der Vorfaktor 1/5 geht quadratisch in die Determinante ein. )
Wenn du dich mit ===> Paulimatrizen anfreunden könntest ( Jedes bessere QM_Lehrbuch hat das: z.B. ===> eugen Fi ck / Darmstadt, Rose " Angular Momentum " oder der Nobelpreis verdächtige ===> Gordon Baym, ein Vielrechner, vor dessen Berechnungen keine Naturerscheinung sicher ist. )
( Der alte über den Wolken ist eben doch routinierter in Matrizen als die Matematikerzunft. )
also in Paulimatrizen schreibt sich dein P
P = 1/5 ( 3 S3 + 4 S1 ) ( 7b )
Von den Matematikern wirst du das Wesentliche hinter den Paulimatrizen nie kennen lernen; so bald du den Durchblick hast. es handelt sich um Vektoroperatoren; damit ist folgendes gemeint:
Sämtliche Paulimatrizen haben Eigenwerte ( +/- 1 ) ( Spin up / Down ) ( und sind damit selber Paritäten. )
Diese Koeffizienten 3/5 und 4/5 in ( 7b ) verhalten sich wie Kosinus und Sinus; jede Linearkombination
P_ß = S3 cos ( ß ) + S1 sin ( ß ) ( 7c )
ist selber wieder eine Paulimatrix, nämlich die Paulimatrix von Spinkomponente in Richtung ß ( mit Eigenwerten +/- 1 )
worauf ich dich aber jetzt schon hinweise: Der ===> Spinor hat nur den halben winkel; nennen wir ihn mal vorläufig µ . Dann hast du doch in ( 2 )
cos ( µ ) = 2 / sqr ( 5 ) ; sin ( µ ) = 1 / sqr ( 5 ) ( 8a )
Kannst du noch Additionsteoreme?
cos ( 2 µ ) = cos ² ( µ ) - sin ² ( µ ) = 3/5 = cos ( ß ) ( 8b )
in Übereinstimmung mit ( 7b )
Wenn du dich in Bezug auf Paulimatrizen mal bissele schlau gemacht hast, stell am besten noch weiter gehende Fragen.
