Stetigkeit von f(x,y):=(x^2 y + xy^2)/(x^2 +y^2) falls (x,y)≠(0,0) // 0 Sonst, mit Folgenkriterium oder Epsilon zeigen?

Question

Ich muss für diese Funktion beweisen, dass sie auf ganz R^2 stetig ist.

f(x,y) = (x²y + xy²)/(x² +y²) falls (x,y) ≠ (0,0) // 0 Sonst.

Auf R^2 /{0} ist es ja offenbar stetig. Ich will nun die Stetigkeit in (0,0) mit dem Folgenkriterium beweisen, komme aber bei der Rechnung nicht weiter. 
Ich wähle (x_n,y_n) so, dass es für n -> ∞ gegen (0,0) geht. Dann muss ich ja nur zeigen, dass der Limes des Funktioneswerts auch 0 ist. Ich kann den Term aber nicht umformen, bitte um Hilfe.

MfG

Comments

Vielleicht so: Für \(x\ne0\) und \(y\ne0\) gilt die Abschätzung
$$\vert f(x,y)\vert=\left\vert\frac{x^2y+xy^2}{x^2+y^2}\right\vert\le\left\vert\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right\vert+\left\vert\frac{xy^2}{x^2+y^2}\right\vert\le\left\vert\frac{x^2y}{x^2}\right\vert+\left\vert\frac{xy^2}{y^2}\right\vert=\vert x\vert+\vert y\vert.$$

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Okay. Also gezieltes Weglassen und die Dreiecksungleichung. Aber wenn ich das Folgenkriterium benutze habe ich ja eigentlich keinen Betrag da stehen und kann die Ungleichung gar nicht anwenden oder?

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Wenn \(\lim\vert f(x,y)\vert=0\) ist, dann ist auch \(\lim f(x,y)=0\).

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Das Folgenkriterium eignet sich eher um die Stetigkeit zu widerlegen.

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Aber es funktioniert ja auch so, wenn ich die Folgen beliebig wähle.

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Aber wenn ich das Folgenkriterium benutzen will, kann ich den Betrag ja so nicht benutzen, denn meine beliebigen Folgen könnten ja auch von unten gegen 0 konvergieren.

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Kann mir bitte jemand ausführlich aufschreiben, wie ich die stetigkeit von der Funktion zeigen kann ? Am liebsten MIT Folgenkriterium ?

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Und wenn ich es mit dem Epsilon Delta Kriterium mache ?

Für ε > 0 beliebig gilt ja für alle x,y mit |x|,|y| < δ und δ = ε/2 :

|f(x,y)-f(0,0)| = |f(x,y)| = |(x^2 y +xy^2)/(x^2+y^2)| ≤ |x^2 y/ (x^2+y^2)| + |xy^2/(x^2 + y^2)| = |x|+|y|

< δ +δ = 2δ=  ε.

Ist das korrekt so ?

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Vom Duplikat:

Titel: Stetigkeit im Punkt(0,0)!

Stichworte: funktion,stetigkeit

Kann mir jemand zeigen, wie ich die Stetigkeit der Funktion im Punkt (0,0) beweise ?


$$ f= \frac{x^2y+xy^2}{x^2+y^2} falls (x,y) ≠ (0,0) $$

 $$0  Sonst.$$

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Kann mir das bitte jemand erläutern ?
MfG

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Du hast doch einen durchaus lesenswerten Versuch als Kommentar hingeschrieben, bitte dann einfach Geduld und nicht nochmals die gleiche Frage einstellen. Falls nach Gast nn noch jemand weiss, was erwartet wird, bekommst du gelegentlich eine Antwort.

Answer 1

ja das sieht gut aus, du hast ja im Grunde genommen die Abschätzung von nn verwendet.

Comments

Hallo jc,

die Frage wurde kürzlich als Beispiel zitiert.

Vielleicht solltest du

Und wenn ich es mit dem Epsilon Delta Kriterium mache ?

einfügen, weil deine Bestätigung durch die Zusammenlegungen sonst keinen Bezug mehr hat.

Gruß Wolfgang