Beweise mit Induktion die Ungleichung: 2x > xk

Question

$$2^x > x^k \quad k \in \mathbb{R}$$

Zu zeigen für alle $x \in \{\mathbb{N} \, | x \gt x_0, 2^{x_0} > x_0^k \}$.

Comments

Wie ist k definiert?

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Gegenbeispiel:   x=2    k=5

                  2² > 2⁵    ist falsch!

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Wo ist das ein Gegenbsp? Laut dem Definitionsbereich ist x = 2 und k = 5 nicht erlaubt ;).

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Die Aufgabe wurde ediert. Anfangs stand da etwas anderes. Daher meine Nachfrage. :)

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Hallo

Gast2016  schreibt zwar die Aufgabe sei editiert, ich sehe aber keinen Def. Bereich für x und k. Bitte die exakte Aufgabe.

Gruß lul

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Gast2016  schreibt zwar die Aufgabe sei editiert, ich sehe aber keinen Def. Bereich für x und k. Bitte die exakte Aufgabe.

Ich lese jetzt dort:

k ∈ R
x ∈ {ℕ | x / log_2(x) > k}

Ich weiß aber nicht wie lange das dort schon steht.

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mathelounge, Lu und ich haben die Aufgabe editiert. Das müssten Mathecoach und lul aber sehen (Moderator!); inklusive der Information wann es editert wurde.

Ich war der Meinung, dass ich einen Definitionsbereich hinzugefügt hätte, da die Aufgabe - wie mathef bemerkt hatte - ansonsten keinen Sinn macht.

ich sehe aber keinen Def. Bereich für x und k

Wie sähe denn sowas rein formal aus?

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Ich sehe Folgendes:

Der Fragesteller wird sich nochmals melden, falls er sich noch für die Aufgabe interessiert.

Answer 1

Orientiere dich an diesem Beispiel https://www.mathelounge.de/556017/vollstandige-induktion-uber-2-n-n-…

Verallgemeinere dabei von k=2 auf beliebige positive k

EDIT(Lu): Vorschlag in Antwort umgewandelt. 

Comments

Hallo

 ich sehe in x ∈ {ℕ | x / log_2(x) > k}

eigentlich nichts anderes als die zu zeigende Ungleichung!

für x>1 folgt x>k*log_2(x)=lo_2(x^k)-> 2^x>x^k, was soll also noch gezeigt werden?

Gruß lul

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Die Aufgabe scheint in der Form, in der sie gerade dasteht, reichlich daneben. Um sich das klarzumachen, muss man nur mal versuchen, einen Induktionsanfang anzugeben.

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Hallo

warum reden wir weiter, wenn sich der Frager nicht mehr interessiert?

lul

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Die Aufgabe scheint in der Form, in der sie gerade dasteht, reichlich daneben.

Ok ok -, das habe ich verbockt. ich hatte versucht eine untere Grenze für das $x$ zu finden und den vermeintlichen Definitionsbereich hinzu editiert.

warum reden wir weiter, wenn sich der Frager nicht mehr interessiert?

Na ja - mich würde es interessieren, wie man das formal hinschreibt. Legt man ein beliebiges $k$ fest, zeigt, dass die Ungleichung ab einem bestimmten $x_0$ stimmt. Und macht dann den Übergang von $k$ nach $k+1$.

Oder kann man in Abhängigkeit von einem allgemeinen $k$ ein $x$ bestimmen, um den Übergang nach $x+1$ zu machen.

So ganz konkret kann ich das jetzt nicht hinschreiben.

Die Originalfrage lautete:

Beweise größer als mit Induktion
2^x>x^k
Zu zeigen für alle x aus N.
Gruß