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y=ex/(ex+1)

Ich dachte zuerst ich müsse mit Umkehrfunktion auf die Gleichung nach x kommen aber daraus wurde nichts. :/

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Sicher, dass das die richtige Gleichung ist? Es gibt keine Lösungen.

Sicher, dass es keine Lösung gibt?

Keine Eindeutige. Außer vielleicht x=x=-\infty.

Es gibt eine Lösung in Abhängigkeit von yy, das ist schon klar.

y ist vorerst einfach ein Parameter. Vgl. Antwort von -Wolfgang-

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Hallo Nama,

y=ex / (ex+1)  | * (ex+1)

y* (ex+1) = ex

y*ex + y = ex  |  - ex | - y

y*ex - ex = - y   |  links ex ausklammern

ex * (y-1) = - y  | : (y-1) ≠ 0 , sonst keine Lösung

ex = -y /(y-1)  | auf beiden Seiten ln anwenden ( für y/(1-y) >0 , ln(ea ) = a ) 

x = ln( -y / (y-1) ) = ln( y / (1-y) )   

Gruß Wolfgang

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Umstellung gelingt doch !

Das Argument des ln darf voraussichtlich nicht negativ sein.

@Nama

Ergänze noch 0<y<1

neben

x = ln( -y / (y-1) ) = ln( y / (1-y) )   

falls du keine komplexen Zahlen herausbekommen solltest.

0<y<1 bekommst du, wenn du noch die Umgleichung  y / (1-y) > 0 löst.

 0<y<1  [ bzw. y /(y-1) > 0 ]  ist gemäß Funktionsgleichung für alle x∈ℝ erfüllt und steht daher besser in der Zeile

ex = -y /(y-1)  | auf beiden Seiten ln anwenden ( für y/(1-y) >0 , ln(ea ) = a )

In der letzten Zeile liest sie sich wie eine Bedingung

Danke sehr ‍♀️ hab ich gemacht:D

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y=ex/(ex+1)

y=1-1/(ex+1)

1/(ex+1)=1-y

ex+1=1/(1-y)

ex=1/(1-y)-1

x=ln(1/(1-y)-1)

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Also wenn die Nullstellen gefragt sind, dann musst du y=0 setzen.

0=exex+1(ex+1)0=exln(.)ln(0)=x=n.a.n 0=\frac{e^x}{e^x+1}\quad|\cdot(e^x+1)\\0=e^x\quad |\ln(.)\\ \ln(0)=x=n.a.n Das ist ein Widerspruch, da 0 nicht im Definitionsbereich des ln liegt! Deine Gleichung hat also keine Nullstellen. n.a.n=,,not a number''

Für beliebiges y sieht die Lösung so aus:

y=exex+1(ex+1)y(ex+1)=exAmyex+y=exyexy=ex(1y) : (1y)ex=y1yln(.)x=ln(y1y),0<y<1 \begin{aligned} y&=\frac{e^x}{e^x+1}&\quad &|\cdot(e^x+1) \\y\cdot (e^x+1)&=e^x &\quad &|Am\\y\cdot e^x+y&=e^x&\quad &|-y\cdot e^x\\y&=e^x\cdot (1-y) &\quad &|:(1-y)\\e^x&=\frac{y}{1-y} &\quad &|\ln(.)\\x&=\ln\Big(\frac{y}{1-y}\Big),\quad 0 < y<1 \end{aligned}

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