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Wir haben als Klausurvorbereitung diese Aufgabe gegeben, aber ich finde die Fehler nicht, die gemacht wurden? Und an sich verstehe ich auch nicht, warum ich dann nicht mit den korrekten Lösungen, die ich nicht habe, NICHT weiterarbeiten soll.

Kann mir da einer helfen, die Aufgabe zu lösen? Das wäre echt super.

Hier die Aufgabe:

Bei der Berechnung der lokalen Extrema und Sattelpunkte von

$$ f : R ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } \operatorname { mit } f ( x , y , z ) = x + y + y z - y ^ { 2 } - z ^ { 2 } - 2 x ^ { 4 } $$

wurde die folgende fehlerhafte Lösung erstellt.

Finden und berichtigen Sie alle Fehler. Sie müssen dabei nicht die Aufgabe korrigieren, beachten Sie Folgefehler! (Wenn bspw. am Anfang falsche Kandidaten für Extremstellen ausgerechnet wurden, markieren und berichtigen Sie den Fehler, bearbeiten den Rest der Aufgabe aber so, als wären die Kandidaten richtig, um nicht jeden Folgefehler einzeln untersuchen zu müssen.)

Die notwendige Bedingung besagt, dass der Gradient \( \nabla f = 0 \) sein muss. Die partiellen Ableitungen lauten:

$$ f _ { x } ( x , y , z ) = 1 - 8 x ^ { 3 } , \quad f _ { y } ( x , y , z ) = 1 + z - 2 y - z ^ { 2 } , \quad f _ { z } ( x , y , z ) = y - 2 z $$

Damit muss gelten:

$$ \nabla f = \left( \begin{array} { c } { 1 - 8 x ^ { 3 } } \\ { 1 + z - 2 y - z ^ { 2 } } \\ { y - 2 z } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) $$

Die Zeile ergibt \( x = -\frac{1}{2} \). Umstellen der dritten Gleichung nach y und Einsetzen in Gleichung II ergibt:

$$ y = 2 z \Rightarrow 1 + 2 z - 2 z - z ^ { 2 } = 0 \Leftrightarrow z ^ { 2 } = 1 $$

Also gilt z = 1 und damit y = 2. Kandidaten für eine Extremstelle sind also \( -\frac{1}{2} \), 2 und 1. Für
die hinreichende Bedingung bestimmen wir die Hessematrix \( H_f(x,y,z) \), für die wir die zweiten Ableitungen brauchen:

$$ f _ { x x } = - 24 x ^ { 2 } , \quad f _ { x y } = f _ { y x } = 0 , \quad f _ { x z } = f _ { = x } = 0, f_{yy} = 2, f_{yz} = 1-2z = f_{zy}, f_{zz} = -2 $$

Die Hessematrix lautet also:

$$ H _ { f } ( x , y , z ) = \left( \begin{array} { c c c } { - 24 x ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 1 - 2 x } \\ { 0 } & { 1 - 2 x } & { - 2 } \end{array} \right) $$

Weil die Hesse-Matrix positive und negative Hauptdiagonaleinträge besitzt, ist sie indefinit. Also liegt
an jedem der Kandidaten ein Sattelpunkt vor.

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Kopiere die Funktionsdefinition auf ein zweites Blatt, lege den Aufgabenzettel weit weg, und rechne die Aufgabe komplett selber durch. (Dabei nicht spicken, denn die "Musterloesung" ist ja falsch!)

Wenn Du das dann hast, kannst Du vergleichen. Vorher bist Du ueberhaupt nicht qualifiziert, anderer Leute Fehler zu finden.

Wenn Du das dann hast, kannst Du vergleichen

Der Rat bringt wohl wenig, weil er nach Finden jeden Fehlers die vorgegebene Fassung so weiterverwenden soll, als wäre sie richtig. Er soll also dann keine Folgefehler suchen.

Das siehst Du falsch. Minimalvoraussetzung für jegliche Korrektur ist ein vollstaendige und eigenhaendig erstellte Lösung.

Gegen das Erstellen einer eigenständigen Lösung ist natürlich nichts einzuwenden.

Aber womit soll er diese dann nach dem 1. Fehler "vergleichen"? Da könnte sogar etwas  mit der richtigen Lösung übereinstimmen, was sich durch Aufheben vorausgegangener Fehler durch erneute Fehler ergeben hat.

Ich hatte an etwas Intelligenteres als einen stupiden 1:1-Vergleich von Zahlen gedacht.

Der Korrektor ohne eigene Musterloesung als gaertnernder Bock. Warum nicht?

Das Intelligentere wäre dann wohl der Lösungsweg, der aber in der Vorlage erst ganz zum Schluss zu beanstanden ist.

Der Korrektor ohne eigene Musterloesung als gaertnernder Bock. Warum nicht?

Ein Argument kann ich in diesem blumigen Sprachgebilde nicht erkennen!

Es ist immer wieder erstaunlich, wie hier im Forum - auch von den qualifiziertesten Kollegen - bei einem längeren Chat mit unsachlichen Unterstellungen vom eigentlichen Anliegen des Erstkommentars abgelenkt wird :-)

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo bilo,

das  -z2  bei fy fällt weg

y=2z  1 + 2z - 2z -z2 = 0  ist falsch

1 + 2z - 2z -z2 = 0  ⇔  z = 1  ist falsch

Hessematrix indefinit ergibt nicht automatisch "Sattelpunkt"

(keine Garantie für Vollständigkeit :-)

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

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