Bestimmung der Hessematrix

Question

h(x,y)=x⁵ y⁶+e^xy

h:R²→R

1.Bestimmen die Hessematrix ∇² h(x,y)

2.Bestimmen alle Eigenwerte der Matrix ∇² h(1,0)

Comments

Hast du mit den erforderlichen Ableitungen ein Problem?

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Ich habe ein Problem mit allem :)

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Die Hessematrix ist keine Hessenmatrix. Otto Hesse war Preuße.

Answer 1

Wenn du Probleme mit den Ableitungen hast benutze mal den Ableitungsrechner mit Schritt für Schritt Lösungen.

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 2

Aloha :)

Hier ein Lösungsvorschlag zum Nachvollziehen.$$h(x;y)=x^5y^6+e^{xy}$$

1) Bestimmung der Hesse-Matrix

Wir bestimmen zuerst die partiellen Ableitungen 1-ter Ordnung:$$\frac{\partial h}{\partial x}=5x^4y^6+ye^{xy}\quad;\quad \frac{\partial h}{\partial y}=6x^5y^5+xe^{xy}$$Daraus berechnen wir die partiellen Ableitungen 2-te Ordnung:

$$\frac{\partial h^2}{\partial x^2}=20x^3y^6+y^2e^{xy}$$$$\frac{\partial h^2}{\partial y\,\partial x}=30x^4y^5+\underbrace{\frac{\partial}{\partial y}\left(ye^{xy}\right)}_{\text{Produktregel!}}=30x^4y^5+e^{xy}+xye^{xy}=30x^4y^5+(1+xy)e^{xy}$$Nach dem Satz von Schwarz sind die gemischten 2-ten Ableitungen gleich:$\;\frac{\partial h^2}{\partial x\,\partial y}=\frac{\partial h^2}{\partial y\,\partial x}$

Voraussetzung dafür ist, dass die 2-ten Ableitungen stetig sind, was hier der Fall ist.

$$\frac{\partial h^2}{\partial y^2}=30x^5y^4+x^2e^{xy}$$

Damit haben wir die Hesse-Matrix fertig berechnet:$$\nabla^2h(x;y)=\left(\begin{array}{cc}20x^3y^6+y^2e^{xy} & 30x^4y^5+(1+xy)e^{xy}\\30x^4y^5+(1+xy)e^{xy} & 30x^5y^4+x^2e^{xy}\end{array}\right)$$

2) Bestimmung der Eigenwerte

Speziell für $(x;y)=(1;0)$ vereinfacht sich die Hesse-Matrix zu:$$\nabla^2h(1;0)=\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\1 & 1\end{array}\right)$$

Die Eigenwerte sind die Lösungen des charakteristsichen Polynoms:$$0\stackrel!=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}0-\lambda & 1\\1 & 1-\lambda\end{array}\right)=-\lambda(1-\lambda)-1=\lambda^2-\lambda-1$$Die pq-Formel liefert die Eigenwerte:$$\lambda_{1;2}=\frac12\pm\sqrt{\frac14+1}=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$