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Ich stehe vor einem Problem, und zwar geht es um folgendes aus dem Buch Tipler der Seite 1409: 

Nicht erschrecken lassen es ist eine Beispiel Aufgabe zur Binomialentwicklung.

Also Berechnen Sie mithilfe von Gleichung \( ( 1 + x ) ^ { n } \approx 1 + x \cdot n \text { für } | x | < 1 \) einen Näherungswert für die Wurzel aus 101.

Problembeschreibung: Die Zahl 101 legt die Zerlegung in das Binom (101 + 1) nahe. Um einen Näherungswert mithilfe der Binomialentwicklung bestimmen zu können, muss man diesen Ausdruck so umfromen, dass wir einen Binom bestehend aus 1 und einem Term kleiner als 1 erhalten.

Lösung:
Schritt 1. Schreiben Sie die Wurzel als (101)^{1/2}; nun können Sie einen Ausdruck der Form (1 + x)^n herleiten, in dem x viel kleiner als 1 ist:

$$ ( 101 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = ( 100 + 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = 100 ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( 1 + 0,01 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } = 10 ( 1 + 0,01 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } $$

Schritt 2. Verwenden Sie Gleichung daum_equation_1532181780059.png  mit n = 1/2 und x = 0,01 und berechnen Sie die Entwicklung von (1 + 0,01)^{1/2}:
daum_equation_1532181264187.png
Schritt 3. Wegen |x| << 1 ist zu erwarten, dass der Betrag der Terme von zweiter und noch höherer Ordnung erheblich kleiner ist als der Betrag des Terms erster Ordnung. BestimmenSie einen Näherungsausdruck für das Binom a) nur mit den Termen nullter und erster Ordnung und b) mit den ersten drei Termen:

a) Bei Berücksichtigung nur der Terme nullter und erster Ordnung ergibst sich:
daum_equation_1532181378980.png
b) Berücksichtigen wir zusätzlich noch den Term zweiter Ordnung, so haben wir:
daum_equation_1532181483493.png
Schritt 4. Setzen Sie diese Ergebnisse in die Gleichung von Schritt 1 ein:
Bei Berücksichtigung nur der Terme nullter und erster Ordnung ergibt sich:
daum_equation_1532181544882.png
Bei zusätzlicher Berücksichtigung der Terme zweiter Ordnung ergibt sich:
daum_equation_1532181564537.png

Plausibiltätsprüfung: Es ist zu erwarten, dass unsere Antwort auf 0,001% genau ist. Der Wert von (101)^1/2 beträgt, auf acht gültige Stellen angegeben, 10,049876. Der Unterschied zu 10,050000 beträgt nur 0,000124, der Näherungswert weicht also erst in der vierten signifikanten Stelle ab (1:10000). Zu 10,49875 tritt erst in der siebten signifikanten Stelle eine Differenz auf (1:10000000).

Nun zur Frage:
1. Wie setze ich die Ergebnisse von Schritt 3 in Schritt 4 also in Schritt 1 ein, um auf die 10,050000 zu kommen und 10,049875 ?
2. Bei der Plausibilitätsprüfung verstehe ich nicht wie man auf 0,001 % kommt, auf die acht und vier gültigen Stellen kommt, den Unterschied 0,000124, die Verhältnisse (1:10000) und (1:10000000) und der Näherungswert halt, mit den vier signifikanten Stellen. Hoffe es ist nicht zu lang geworden und freue mich auf jede Unterstützung.

VG :)

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1. Wie setze ich die Ergebnisse von Schritt 3 in Schritt 4 also in Schritt 1 ein, um auf die 10,050000 zu kommen und 10,049875 ?

Schritt 3 brachte ja

(1 +0,01) ^{1/2} ≈1 + 0,005 - …………..   und die Pünktchen sind der Terme 2. Ordnung. Den soll man ja NICHT  berücksichtigen, also bleibt nur      (1 +0,01) ^{1/2} ≈1 + 0,005=1,005

und in Gleichung 1 war ja der gesuchte Wert    (101)^{1/2} = 10*  (1 +0,01) ^{1/2}

und mit der Berücksichtigung der 10*  hast du 10*1,005 = 10,05.

Die 10,049875 ist der Vergleichswert aus dem Taschenrechner.

Bei der Plausibilitätsprüfung verstehe ich nicht wie man auf 0,001 % kommt,

(Das ist wohl die Genauigkeit wie sie bei der Binomialentwicklung allgemein erwartet werden kann.)

 auf die acht und vier gültigen Stellen kommt,

(Die 8 Stellen sind die aus dem Taschenrechner und die 4 gibt an:

Die 4. Nachkommastelle des Unterschiedes

10,050000  -  10,049876  =  0,000124  ist die erste von 0 verschiedene Stelle.)

von 152 k

Wenn jetzt die Aufgabe heissen soll:
Entwickeln Sie (1 - 0,001)^{40}. Verwenden Sie die nullte und in einer zweiten Rechnung zusätzlich die erste Ordnung der Binomialentwicklung nach Gleichung

daum_equation_1532181780059.png
Berechnen Sie die Werte mit einem Taschenrechner und geben Sie die prozentuale Abweichung zwischen den beiden Werten an.

Ich würde wie folgt heran gehen:

0 - Ordnung:

(1 - 0,001)^{40} = (1 - (x=0,001))^{n=40} \approx 1 + ... = 1

1 - Ordnung:
(1 - 0,001)^{40} = (1 - (x = 0,001))^{n= 40} \approx 1 - (40 * (-0,001)) = 1 + 0,040 = 1,040

Dann würde ich wie oben die Werte einsetzen, da hier aber kein Koeffizient ist also nichts vor dem Term (1 - 0,001)^{40} steht, sind die Ergebnisse fix.

Dann würde ich den absoluten Fehler bestimmen mit y1 - y und y2 - y
mit y1 = 1 und y2 = 1,040 und y = (1 - 0,001)^{40}

Also
y1 - y = 1 - (1 - (0,001)^{40}) = 1

und

y2 - y = 1 + 0,040 = 1,040

Jetzt weiss ich nicht wie man die Abweichung bestimmt :/

Hab jetzt die Fehler bestimmt aber weiter weiss ich nicht, hoffe du kannst mir da helfen.

VG :)

Für die Abweichung brauchst du ja erst mal den Wert aus dem Taschenrechner, ich

bekomme 0,9607702.  Das ist das y.

Das ist mir ja bereits klar, nur das was ich nicht verstehe ist hier die Aufgabenstellung. Was ist mit: prozentualer Abweichung zwischen den beiden Werten gemeint. Betonung liegt hier bei "beiden Werten" welche Werte zwischen 0ter und 1 Ordnung die Abweichung oder zwischen 0ter Ordnung und TR und dann noch mal 1ter Ordnung - TR. Mir gehts um das Textverständniss.

Ich würde das so interpretieren wie deine 2. Version.

Ist in der Tat etwas missverständlich.

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