Terme vereinfachen soweit es geht: (xn - xn+2)/(xn + xn-1)

Question

Hallo kann mir jemand bei diese Aufgabe behilflich sein? Ich muss das im Taschenrechner erst eingeben und dann schriftlich zur Lösung kommen.
Im TR steht als Lösung: -x(x-1)

Wie kann man das nun schriftlich rechnen ? Kann das jemand mit so viele Schritten wie möglich

$$\frac { x ^ { n } - x ^ { n + 2 } } { x ^ { n } + x ^ { n - 1 } }$$

(xⁿ - xⁿ⁺²)/(xⁿ + x^n-1)

Answer 1

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Comments

Danke, Kannst du mir bitte erklären wie man auf diesen Schritt kommt ? Bis dahin habe ich alles verstanden 

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Zähler:  ist eine binomische Formel:

allgemein: (a-b)(a+b)= a² -b²

Nenner: Hier wurde der Hauptnenner gebildet.

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Ja das stimmt da ist der Zähler eine binomische Formel aber wie bist du dann von 1-x² auf diese binomische Formel gekommen? Ich erkenne da keine binomische Formel leider 

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1 -x²= - (x²-1) ->  -1 ausklammern

= -(x+1)(x-1) ->Binomische Formel

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Ok Dankeschön, könntest du mir bitte auch erklären wie man von 1+ 1/x auf x+1/x kommt also im Nenner ?

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1=x/x

---->

x/x +1/x ->1/x ausklammern

1/x(x+1)

= (x+1)/x

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Ok vielen Dank hab es jetzt verstanden

Answer 2

(xⁿ - xⁿ⁺²)/(xⁿ + x^n-1)

= (xⁿ(1 - x²))/(xⁿ(1+x^-1))

= (1 - x²)/(1+x^-1)

= ((1-x)(1+x))/(1 + 1/x)

= ((1-x)(1+x))/((x+1)/x))

=  ((1-x)(1+x)) * (x/(x+1))

= (1-x)*x

= x - x² 

Kontrolle: Dein

-x(x-1)

= -x² + x = x - x² ist dasselbe.

Comments

Dankeschön, kannst du mir bitte erklären wie du vom Schritt davor auf = ((1-x)(1+x))/(1 + 1/x) kommst ?

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= (1 - x²)/(1+x^-1)       | Zähler: 3. binomische Formel (1-x)(1+x) = 1² - x²

                                            | Nenner x^-1 = 1/x : Potenzgesetze

= ((1-x)(1+x))/(1 + 1/x)

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Ok vielen Dank bis jetzt hab ich es soweit verstanden.

((1-x)(1+x))/((x+1)/x)) Ich verstehe nun wieso das im Zähler so steht aber im Nenner weiß ich das nicht. Wie bist du von 1+ 1/x  auf x+1/x gekommen ? 

Gibt es dafür ein Gesetz ?

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Wie bist du von 1+ 1/x  auf (x+1)/x gekommen ? 

Gibt es dafür ein Gesetz ?

1 = 1/1 = x/x , wenn x nicht gerade 0 ist. Dann Bruchaddition.

Den Fall x=0 kann man aber ausschliessen, da sonst der vorgegebene Bruch gar nicht definiert wäre.

Answer 3

Das $x^k$ kürzt sich weg, wir haben also $\frac{x^{k+2}}{x^{k-1}}$. Wende Potenzgesetze an und erhalte:$$\frac{x^{k+2}}{x^{k-1}}=x^{(k+2)-(k-1)}$$$$=x^3$$

Comments

Dem würde ich widersprechen, da du einfach aus einer Summe bzw. Differenz kürzt.

$$\frac{x^k-x^{k+2}}{x^k+x^{k-1}}=\frac{x^k-x^k\cdot x^2}{x^k+x^k\cdot x^{-1}}=\frac{x^k\cdot (1-x^2)}{x^k\cdot (1+x^{-1})}$$

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Jo, habs falsch gemacht :)