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Ich habe folgende Aufgabenstellung vorliegen und weiß nicht wie ich hier vorgehen muss:

Die Strecke L(x) sei die Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie verlaufe durch den Fixpunkt mit den Koordinaten [a, b]. Berechnen Sie x so, dass die schraffierte Fläche A minimal wird.

blob.png

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Hm... mit x=2a ist H=2b und A=2ab.

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Mein Ergebnis
Die Gerade ist
f ( x ) = -b/a * x + 2b
Nullstelle
-b/a * x + 2b = 0
-b/a * x = -2b
x = 2a

Avatar von 122 k 🚀

Woher weiß man, dass der y-Achsenabschnitt = 2b ist ?

Müsste man nicht irgendwie mit der Funktionsgleichung

$$f(x)=-\frac{b}{a}*x+H$$

rechnen?

Und wäre der Flächeninhalt (wenn man von x=2a ausgeht) nicht maximal ?

Meine Überlegungen

gm-14.jpg

das Rechteck a * b ist bei allen Lösungen gleich und
kann entfallen.
Die beiden Dreicke haben den gleichen Steigungswinkel
y / a = b / x
y = a * b / x

Fläche
A = a * y + b * x
( * 1/2 ) habe ich enrfallen lassen
A = a * ( a * b ) / x + b * x
1.Ableitung nach x bilden
zu 0 setzen
x = a

Die Grundseite hat die Länge 2*a.

Die Grafik zeigt minimal.
Bilde die 2.Ableitung und du wirst feststellen :
Tiefpunkt.

Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

  Es juckt mich in den Fingern.  Mein Daddy sprach auch immer

  " Das kann ich gar nicht mit ansehen. "


  <<  Woher weiß man, dass der y-Achsenabschnitt = 2b ist ?

  <<  Müsste man nicht irgendwie mit der Funktionsgleichung

     <<   f(x)=−ba∗x+H

   <<    rechnen?


   Schau dir mal in meiner Lösung an, woher dieser Faktor 1/2 kommt.  Wie ich schon sagte: Das hast du auch bei " Kegel im Zylinder "

   Kennst du den  ===>  Schopenhauerschen  ===>  Mausefallenbeweis , der alles so undurchsichtig hält wie nur irgend möglich ?ac

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(1) Gesucht ist diejenige Kathete \(x\), die die schraffierte Fläche
$$A(x,H) = \dfrac 12\cdot x \cdot H \quad\text{mit}\quad a<x, \quad b<h$$minimiert.

(2) Der zweite Strahlensatz liefert die Nebenbedingung
$$H = \dfrac{bx}{x-a}$$

(3) Das setzen wir zusammen zur Haupbedingung
$$A(x) = \dfrac b2\cdot \dfrac{x^2}{x-a} \quad\text{mit}\quad a<x$$

(4) Diese leiten wir ab zu
$$A'(x) = \dfrac b2\cdot \dfrac{2x\cdot(x-a)-x^2}{(x-a)^2} \quad\text{mit}\quad a<x \\[20pt] \phantom{A'(x)} = \dfrac b2\cdot \dfrac{x\cdot(x-2a)}{(x-a)^2}$$

(5) Offensichtlich ist \(x=2a\) die einzige Nullstelle der Ableitung. Da die Fläche \(A(x)\) an den Rändern ihres Definitionsbereichs beliebig groß wird, muss sie bei \(x=2a\) ihr absolutes Minimum annehmen.

(6) Damit ist \(x=2a\) die gesuchte Kathete und es folgt noch \(H=2b\) als die andere Kathete und \(A=2ab\) für die Fläche.


Schluss: Die Aufgabe ist offenbar die achte aus einer wohl umfangreicheren Klausur. Ein großer Bearbeitungsaufwand oder eine komplizierte Rechnung sind also wohl nicht zu erwarten. Eigentlich lässt sich die Aufgabe auch im Kopf lösen, was aber in einer Klausur eher nicht angesagt ist.

Ich habe meine Rechnung in kleinen, fast elementaren Schritten notiert und dabei nur die Bezeichnungen und Zusammenhänge verwendet, die die Aufgabenstellung vorgegeben hat und nichts vorausgesetzt, was erst am Ende der Rechnung gefolgert werden kann.

Avatar von 26 k

Eine mögliche nachvollziehbare Berechnung:


Gescanntes Dokument.png

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Hallo

die Gerade y=mx+n

 muss durch (a,b) gehen also hat man b=ma+n , n=H=b-ma, Schnittpunkt mit x-Achse : x_0

0=mx_0+b-ma ->x_0=(ma-b)/m

Fläche  A=H*x_0=(b-ma)*(ma-b)/m jetzt das Max für m finden

oder man löst die erste Gleichung nach m auf und lässt H als Variable. probier aus, was einfacher ist.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀
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      Ich habe da einen Trick entdeckt, der bei allen ähnlichen Aufgaben mit ähnlichen Dreiecken finktioniert; z.B.  Zylinder einbeschrieben in Kegel . Wir definieren ein abstraktes Seitenverhältnis


     a =:  ß  x        (  1a  )

     b  =:  µ  H     (  1b  )


     Dann  folgt aus dem Strahlensatz


     H / x  = b / ( x - a )      (  2a  )


    und wenn wir  ( 1ab ) einsetzen auf der rechten Seite von ( 2a )


     H / x  =  ( H / x )  [   µ / ( 1  -  ß )  ]      (  2b  )

    µ  =  1  -  ß  ===>   ß  +  µ  =  1     (  2c  )


    Bei  ( 2c )  handelt es sich demnach um eine sehr abstrakte Aussage, mit der ich erstmal keine konkrete Anschauung verbinden könnte .  ungewöhnlich für diesen Aufgabentyp ist also, dass wir erst die Nebenbedingung formulieren und dann die Hauptbedingung .  Für den ( reziproken ) Flächeninhalt bekommst du ja


    F  (  ß  ;  µ  )  =  1 / x  H  =  ß  µ  /  a  b  =  max           (  3a  )


   In Worten:  In dem abstrakten Raum der ß , µ   suchst du unter allen Rechtecken vom Umfang  U  =  2 das flächengrößte  . wie du weißt,  ist die Lösung das Quadrat


       ß  =  µ  =  1/2      (  3b  )

Avatar von 5,5 k

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