Ich propagiere ja immer Ermittlung der Schnittpunkte über den ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Noch in jener Woche im Jahre 2011, als ich aus dem Internet vom SRN erfuhr, entdeckte ( und bewies ) ich den folgenden
ZERLEGUNGSSATZ
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Sei
f ( x ) := a2 x ² + a1 x + a0 ( 1a )
a2 = 4 ; a1 = ( - 4 ) ; a0 = ( - 3 ) ( 1b )
ein primitives Polynom . Seien ferner x1;2 seine Wurzeln, die wir wie üblich als gekürzt voraus setzen.
x1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q ( 2a )
Dann gelten die beiden Habakuk pq_Formeln
p1 p2 = a0 = ( - 3 ) ( 2b )
q1 q2 = a2 = 4 ( 2c )
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Mit ( 2c ) haben wir schon mal die beiden Alternativen
" Ganze <===> Viertel " oder Halbe_Halbe .
Doch das lässt sich ganz leicht entscheiden; betrachte die Normalform von ( 1ab )
x ² - p x + q = 0 ( 3a )
p = 1 ; q = ( - 3/4 ) ( 3b )
Hinreichende Probe ist immer Vieta p
p = x1 + x2 ( 3c )
" Ganze + Viertel " in ( 3c ) können in ( 3b ) unmöglich Ganze ergeben - Halbe Plus Halbe schon . Eine einzige Möglichkeit überlebt
| x1 | = 1/2 ; | x2 | 3/2 ; | p | = 1 ( 3d ) ; ok
Jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen
x1 = ( - 1/2 ) ; x2 = 3/2 ( 3e )
Ich beginne mit der Flächenberechnung .
3/2 3/4 - x ²
F = $ $ dy dx = ( 4a )
- 1/2 - x
3/2
= $ ( - x ² + x + 3/4 ) dx = ( 4b )
- 1/2
= - 7/6 + 1 + 3/2 = 4/3 ( 4c )
Jetzt die x_Komponente des statischen Moments
m_x = $ x $ dy dx = ( 5a )
3/2
= $ ( - x ³ + x ² + 3/4 x ) dx = ( 5b )
- 1/2
= - 5/4 + 7/6 + 3/4 = 2/3 ( 5c )
Zusammwn mit ( 4c ) ergibt das
x_s = 2/3 : 4/3 = 2/4 = 1/2 ( 6 )
Sollte ich mich verrechnet haben, so wirkt es doch plausibel - genau in der Mitte zwischen x1 und x2 .
Die y-Komponente ist mir echt zu anstrengend - ihr könnt ruhig auch mal was tun .
