Schwerpunkt über Doppelintegral ?

Question

Gesucht ist der Schwerpunkt für eine Fläche, welche durch zwei Funktionen begrenzt ist.

f(x)= 3/4-x^2

g(x)=-x

dass ich die Funktionen gleich setzen muss ist mir bekannt die weiteren Schritte leider gar nicht kann mir jemand bitte helfen

Comments

Was meinst du mit "eine Fläche" ? Welche Fläche? Schraffiere in der Skizze:

~plot~ 3/4-x^2; -x ~plot~

Answer 1

Hallo

 ja, zuerst schneiden, um die Grenzen zu bestimmen und dann 1. Fläche A bestimmen

 dann Doppelintegral  für x_s =1/A* ∫∫x*dy*dyx, y_s=1/A* ∫∫y*dy*dx

die Grenzen entnimmst du der Zeichnung.  die 2 Funktionen für y, die Schnittpunkte für x.

Gruß lul

Answer 2

  Ich propagiere ja immer Ermittlung der Schnittpunkte über den ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )   Noch in jener Woche im Jahre 2011, als ich aus dem Internet vom SRN erfuhr, entdeckte ( und bewies ) ich den folgenden

    ZERLEGUNGSSATZ

  =======================

     Sei

      f  (  x  )  :=  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0             (  1a  )

                        a2  =  4  ;  a1  =  (  -  4  )  ;  a0  =  (  -  3  )      (  1b  )

     ein primitives Polynom  .  Seien ferner  x1;2  seine Wurzeln, die wir wie üblich als gekürzt voraus setzen.

      x1;2  :=  p1;2 / q1;2  €  |Q       (  2a  )

     Dann gelten die beiden Habakuk pq_Formeln

    p1  p2  =  a0  =  (  -  3  )       (  2b  )

    q1  q2  =  a2  =  4      (  2c  )

    ============================================

    Mit  ( 2c ) haben wir schon mal die beiden Alternativen

    "  Ganze <===>  Viertel "  oder  Halbe_Halbe .

   Doch das lässt sich ganz leicht entscheiden; betrachte die Normalform von  ( 1ab )

     x  ²  -  p  x  +  q  =  0       (  3a  )

          p  =  1  ;  q  =  (  -  3/4  )      (  3b  )

    Hinreichende Probe ist immer Vieta  p

      p  =  x1  +  x2       (  3c  )

    " Ganze  +  Viertel  "  in  ( 3c  )  können in ( 3b ) unmöglich Ganze ergeben - Halbe Plus Halbe schon .  Eine einzige Möglichkeit überlebt

    |  x1  |  =  1/2  ;  |  x2  |  3/2  ;  |  p  |  =  1      (  3d  )   ;  ok

      Jetzt noch  das Vorzeichen richtig drehen

     x1  =  (  -  1/2  )  ;  x2  =  3/2        (  3e  )

    Ich beginne mit der Flächenberechnung .

                  3/2              3/4 - x ²

   F  =          $                     $            dy dx            =        (  4a  )

               - 1/2                  - x

                  3/2

       =          $        (  -  x  ²  +  x  +  3/4  )  dx     =       (  4b  )

               - 1/2

     =  -  7/6  +  1  +  3/2  =  4/3            (  4c  )

     Jetzt  die x_Komponente des statischen Moments

       m_x  =  $    x    $     dy  dx   =         (  5a  )

                   3/2

         =         $        (  -  x  ³  +  x  ²  +  3/4  x  )  dx  =     (  5b  )

                - 1/2

       =  -  5/4  +  7/6  +  3/4  =  2/3      (  5c  )

   Zusammwn mit   ( 4c ) ergibt das

    x_s  =  2/3  :  4/3  =  2/4  =  1/2         (  6  )

   Sollte ich mich verrechnet haben, so wirkt es doch plausibel  - genau in der Mitte zwischen x1 und x2 .

    Die y-Komponente ist mir echt zu anstrengend - ihr könnt ruhig auch mal was tun .