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Wolfram Alpha z.B. wird die Aussage oben bestätigen.

Erste Ansätze:

x/(xx-1)=0 (x->0)

<=>

y1/y-1/(1-y1/y)=0 (y->unendlich) mit y=1/x

Vielleicht einen Tipp oder Link, jemand ?

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du kannst diesen Ausdruck nachoben abschätzen.

Dazu muss man für alle x>1, x∈ℝ einen Nennerausdruck finden, der kleiner als der Nenner im Ausgangsterm ist. Offensichtlich gilt  x2x<xx1. x^2-x<x^x-1.

Nun kannst du damit die Abschätzung machen:

xxx1<xx2x=1x1x0. \frac{x}{x^x-1}<\frac{x}{x^2-x}=\frac{1}{x-1} \stackrel{x \to \infty}{\longrightarrow} 0.

EDIT:

Man schreibt es statt wie in der Überschrift eigentlich so hier:

limxxxx1=0, \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^x-1}=0, statt xxx1=0\frac{x}{x^x-1} =0 zu schreiben. Denn das hat eine andere Bedeutung.

x soll gegen 0 streben.

Oh, dann tut es mir Leid. Ich hab warum auch immer ∞ gelesen.

Kann man meinen Beitrag noch löschen?

Selig sind die Einfallslosen, denn ihrer ist der L'Hospital. Der geht hier. Man muss nur limx0+xx=1\lim_{x\to0^+}x^x=1 wissen, was sich ebenfalls mit L'Hospital ergibt.

Vom Duplikat: EDIT (Lu) umgeleitetes Feedback. 

Titel: Hallo und Danke schön für x/(xx-1)=0 (x->0) !

Stichworte: grenzwert

Ich nutze eine Fake-Frage, um

als Gast mit euch zu kommunizieren.

Ich hab nämlich grad eben als Gast diese x/(xx-1)=0 (x->0)

Frage gestellt...

Also, erstmal Danke für die Antworten !

Ja, aber Hospital willichnich, weil das hier

ist von Seite 150 aus'm Ana 1 Buch und

diesen Satz gibt's da so gesehen noch nicht.

xx=1 (x->0) hab ich übrigens auch ohne

diesen Wundersatz hingekriegt - nämlich

mit y1/y=1 (y->unendlich)

dassisdann y1/y<1/(1-eps) mit eps Elemen ]0,1[

ab irgendeinem y>0 und dann |1-(1/y)1/y|<eps

und x=1/y zurücktauschen und das bedeutet

dann Konvergenz...

EDIT: Habe deine erneute "Frage" hierhin umgeleitet und die ursprüngliche Antwort von hallo97 in einen Kommentar umgewandelt.

@Gast. Bitte registriere dich, damit du dort kommentieren kannst, wo du willst. Und: Bitte Schreibregeln beachten und deine Fragen in Zukunft von Anfang an so formulieren, dass keine anderen Lesarten möglich sind.

lim x −> 0 [ x / (xx-1) ] = 0

4 Antworten

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Setze z.B. ϕ(x)=xex1\phi(x)=\frac{x}{e^x-1} und ergaenze noch ϕ(0)=1\phi(0)=1. Dann ist ϕ\phi ueberall stetig. Es ist dann xxx1=ϕ(xlogx)logx.\frac{x}{x^x-1}=\frac{\phi(x\log x)}{\log x}. Wenn man limx0+logx=\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty und limx0+xlogx=0\lim_{x\to0^+}x\log x=0 weiss, geht die Sache glatt zu Ende.

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Tip:

betrachte

f(x)=xx-1,f(0):=0

und den Differentialquotienten an der Stelle 0

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     Was du wissen musst; soll ich die Beweise nachreichen ?


        f  (  x  )  :=  x  ^  x            (  1a  )

      lim  f  (  x  )  =  1     (  1b  )


    Dann ist doch       (  2a  )


                                       f ( x ) - 1

     F  (  x  )  :=          ------------------------          (  2b  )

                                            x


  

    nichts weiter als der Differenzenquotient  ( DQ ) von ( 1a ) , genommen zwischen x0 = 0 und der beliebigen Stelle  x  -  schlicht und ergreifend wegen   ( 1b )   Und der  GFrenzwert dieses  DQ  , das wisst ihr, beträgt  f ' ( 0 )  Nun ist aber


     f  '  (  x  )  =  [  ln  (  x  )  +  1  ]  f  (  x  )         (  3a  )


   Am Einfachsten folgt ( 3a )  durch ===>  logaritmisches Differenzieren .  Es ist aber auch zulässig, analog der Produktregel erst nach der Basis abzuleiten und dann nach dem Exponenten.   Mit  ( 1b ) fliegt dir ( 3a ) voll um die Ohren


      f  '  (  0  )  ===>  (  -  °°  )    (  3b  )


   Was du betrachtest, ist quasi der Kehrwert dieses  DQ    ( 2b )

Avatar von 5,5 k

Dass man f+(0)=limx0+f(x)f_+'(0)=\lim_{x\to0^+}f'(x) rechnen kann (und unter welchen Voraussetzungen), waere zu beweisen. Sonst ist das nur hemdsaermlige Schlamperei.


   Die Krankenhausregel führt Haar genau zu dem  selben Ergebnis - was hast du auf einmal  gegen die Krankenhausregel?

Es ist nun mal f+(0) : =limx0+f(x)f(0)x.f_+'(0):=\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}. Wer dann f+(0)=limx0+f(x)f_+'(0)=\lim_{x\to0^+}f'(x) rechnen will, muss das begruenden koennen.

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Vorberechnungen
lim x −> 0 [ xx ] = 1
( xx ) ´ = [ xx * ( ln ( x ) + 1 ) ]

lim x −> 0 [ x / (xx-1) ] = 0 / ( 1 -1 ) = 0 / 0
Ein Fall für L´Hospital

x ´ / ( xx - 1 ) ´ = 1 / [ xx * ( ln ( x ) + 1 ) ]
lim x −> 0 [ 1 / ( 1 * ( -∞ + 1 ) ) = 1 / -∞ = 0

Also
lim x −> 0 [ x / (xx-1) ] = 0

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