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Guten Tag

Analysis Klausur 11.08.2017 Aufgabe 3.png

Ich weiß leider nichtmal einen Ansatz..

Lage des Kegelschnittes mit Parameterdarstellung x = (sin(t))^2 und y = sin(t)*cos(t) ermitteln

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sin(t)^2+cos(t)^2=1

x einsetzen, y umstellen um cos(t)^2 zu erhalten

zusammenfassen und quadratisch ergänzen ergibt

(x-1/2)^2+y^2=1/4

ein kreis...

Avatar von 21 k

Hallo wächter,

da kommt bei mir nach y umgestellt nur
Imaginäres heraus.

gm-21.JPG

Nicht "nach y umstellen", sondern "y=sin(t)*cos(t) umstellen" nach cos^2(t).

ja, danke für die Klarstellung.

cos(t)^2 = y^2/x

Es ist die implizite Form gefordert, also

f(x,y)=0

Und wie komme ich dann von der impliziten Form auf (x-1/2)2+y2=1/4 ?

(x-1/2)^2+y^2=1/4
y^2 = 1/4 - ( x - 1/2 )^2
y = √ [ 1/4 - ( x - 1/2 )^2 ]

Und wie komme ich dann von der impliziten Form auf (x-1/2)^{2}+y2=1/4 ?

Das IST eine implizite Form!

Also ich bin jetzt bei $$0=\frac{y^2}{x}-cos^2(t)$$ als implizite Darstellungsform.

Wie ich komme ich davon dann auf $$\frac{1}{4}=y^2+(x-\frac{1}{2})^2$$?

Hat sich erledigt. Danke euch für die Hilfe.

zur Klarstellung

aus der Parameterform x=sin(x)^2, y=cos(t) sin(t)

gewinne ich Aussagen über sin(t)^2 und cos(t)^2

und setze die ein in sin(t)^2+cos(t)^2=1

y=cos(t) sin(t) >> cos(t)=y/sin(t)

cos(t)^2=y^2/sin(t)^2

cos(t)^2=y^2/x

x+y^2/x=1

x^2-x+y^2=0

.. s.o.

@Das IST eine implizite Form!

Es gibt bei einem der Online-Tests für Wirtschaftswissenschafter eine Vorgabe, dass 
die implizite Form auf einer Seite der Gleichung eine 0 hat. Üblich ist diese Vorgabe eigentlich nicht.

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Rein formal umgestellt

gm-22a.jpg

Die Funktion ergibt einen Kreis

gm-22b.JPG

Avatar von 122 k 🚀

Inwiefern ergibt das einen Kreis und nicht einen Halbkreis? Und wo ist, richtige Rechnung mit Äquivalenzumformungen vorausgesetzt, der wesentliche Unterschied zur Ausgabe deines Algebra-Programms?

Interessant ist dabei, dass beide Darstellungen irgendwie richtig sind (das wäre natürlich noch zu zeigen), aber der Aufgabensteller vermutlich eher die klassische Variante, nämlich

$$\left(x-\dfrac 12\right)^2+y^2=\left(\dfrac 12\right)^2$$erwartet hat.

+1 Daumen

am einfachsten gehts so:

x=sin(t)^2

y^2=sin(t)^2*cos(t)^2=xcos(t)^2=x(1-sin(t)^2)=x(1-x)

y^2=x(1-x)

y^2=1/4-(x-1/2)^2

y^2+(x-1/2)^2=(1/2)^2

Avatar von 37 k
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     Dieser Kreis hat Durchmesser  Eins  ;   es handelt sich um die Darstellung des Thaleskreises in Polarkoordinaten ( PK )

     (   Der Nullpunkt  der  PK  fällt mit dem Ursprung des cartesischen Achsenkreuzes zusammen.  )  Dann folgt aus dem Satz des Thales ( mit Durchmesser Eins )


      r  (  ß  )  =  cos  (  ß  )         (  1  )

     x  =  r  cos  (  ß  )=  cos  ²  (  ß  )  =     (  2a  )

          =  x0  +  R  cos  (  2  ß  )      (  2b  )


          mit

       

            R  =  x0  =  1/2        (  3  )


      In ( 2b ) wurde ein Additionsteorem benutzt .


       y  =  r  sin  (  ß  )  =  R  sin  (  2  ß  )      (  4a  )

    z  :=  x  +  i  y  =  x0  +  R  exp  (  2  i  ß  )     (  4b  )


    ( Der Zentriwinkel isg gleich dem doppelten  Sehwinkel. )

Avatar von 5,5 k

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