Ich würde den Induktionsschritt so formulieren:
-Angenommen die Aussage sei für beliebiges, aber festes, n≥2∈ℕ wahr sodass gilt:
n+14n<(n!)2(2n)!(IV).
Dann gilt diese Aussage auch für n+1, also n+24n+1<((n+1)!)2(2n+2)!
Die zeigt man so:
((n+1)!)2(2n+2)!=((n+1)⋅n!)2(2n+2)⋅(2n+1)⋅(2n)!=(n+1)2⋅(n!)22⋅(n+1)⋅(2n+1)⋅(2n)!=(n+1)⋅(n!)22⋅(2n+1)⋅(2n)!=n+14n+2⋅(n!)2(2n)!>(IV)n+14n+2⋅n+14n=(n+1)24n+2⋅4n>(∗)n+24⋅4n=n+24n+1.
(∗)∀n∈N,n≥2 : (n+1)24n+2>n+24.Beweis durch Widerspruch. Sei n∈ℕ, n≥2. Angenommen es gelte: (n+1)24n+2≤n+24. Dann ist:
(n+1)24n+2≤n+24⇔(4n+2)⋅(n+2)≤4⋅(n+1)2⇔4n2+10n+4≤4⋅(n+1)2⇔(4n2+8n+4)+2n≤4⋅(n+1)2⇔4⋅(n+1)2+2n≤4⋅(n+1)2⇔2n≤0ein Widerspruch zu der Voraussetzung. Damit folgt die Behauptung (*).
Damit wurde auch die obige Aussage n+14n<(n!)2(2n)!,n≥2 bewiesen.
EDIT: Achso in der deiner IB sagst du n=n+1. Das ist so nicht richtig, da du es ja für n+1 zeigen willst, was offensichtlich nicht n ist.