Teilmengeneigenschaft bei f(A) € f(A') beweisen

Question

es geht um folgenden Sachverhalt:

$$ \text{Es seien  } X \text{ und } Y \text  {  Mengen und  } f:X\rightarrow Y\text{  eine Abbildung.} $$ $$ \text{Dann gilt auch. Sind }A,A'\subseteq X\text{  Teilmengen mit  } A\subseteq A'\text{,  so gilt  }f(A)\subseteq f(A'). $$

Beweis durch Widerspruch.

$$ \text{Seien  }A,A'\subseteq X\text{  Teilmengen mit  } A\subseteq A'. \text{  Angenommen es gelte  } f(A)\nsubseteq f(A'). $$ $$ \text{Dann gibt es mindestens ein  } y\in f(A),\text{  sodass  } y\notin f(A')\text{  gilt. Dann ist das Urbild von y unter f}\\ x:=f^{-1}(y)\in A \text{  sowie  } x=f^{-1}(y)\notin A'.\text{  Es ist aber  }A\subseteq A', \text{  sodass  } x\in A'\text{  gelten muss.}\\ \text{Das ist ein Widerspruch zu der Annahme. Damit folgt die Behauptung.} $$

Nachtrag:  Ist dieser Beweis wasserdicht, also hat er keine Lücken?

Answer 1

Schöner Beweis, aber wie lautet deine konkrete Frage?

Comments

Ach Mist. Entschuldugung. Ich wollte halt fragen, ob dieser Beweis wasserdicht ist, also dass er keine Lücken hat.

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EDIT: @hallo97. Habe in deiner Frage nun den "Nachtrag" ergänzt. Ich wüsste nicht, wo man hier eine Lücke finden soll. D.h. einverstanden mit "schöner Beweis".

Nachtrag: Du solltest den Fall A = A' noch separat aufführen. Bisher hast du den Fall A ⊂ A' (echte Teilmenge).

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Ok, danke für die Rückmeldung. Also mein Gedanke war eben deshalb das Symbol ⊆ zu verwenden, weil dadurch die Gleichheit nicht ausgeschlossen wird.

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Im Fall = funktioniert dein Widerspruch nicht. (Der Punkt mit der Existenz eines Elements). Oder bin ich da falsch?

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Also das ⊆ - Symbol war in dieser Aufgabenstellung so gegeben. Ich hab nochmal in meinem Buch nachgeschaut und dort wird schon in einer BEMERKUNG erwähnt, dass für zwei Abbildungen - ich nenne sie jetzt mal f,g: X -> Y - Gleichheit vorliegt, also f=g, wenn f(x)=g(x) für alle x∈X. Und ich denke mal damit müsste man den Fall A=A' nicht nochmal extra betrachten, weil das schon vorher erwähnt wurde.

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$$\text{Seien  }A,A'\subseteq X\text{  Teilmengen mit  } A\subseteq A'. \text{  Angenommen es gelte  } f(A)\nsubseteq f(A').$$

Ich habe mir das nochmals überlegt. Du hast eigentlich schon alles berücksichtigt und brauchst keine Fallunterscheidung.

Dann würde ich deinen Beweis so interpretieren: Die Negation der Behauptung hast du in der zitierten Zeile verpackt.

Die folgende Negation der Behauptung

Angenommen es gelte  f(A) ⊃ f(A') und A ⊆ A' .

Bzw. ausführlicher

Angenommen es gelte Y ⊇ f(A) ⊃ f(A') und A ⊆ A' ⊆ X .
Scheint mir um diese Uhrzeit einleuchtender.

Answer 2

Ich halte deinen Beweis für korrekt, jedoch relativ umständlich. Du musst es nicht so kompliziert machen, du kannst es auch als direkten Beweis machen. In der Tat machst du sogar im Prinzip den selben Beweis, den ich jetzt unten gebe, du hast aber einen Widerspruchsbeweis reingepackt. Was du machst ist also "Angenommen, es gelte nicht X. Dann [direkter Beweis von X]. Also kann nicht-X nicht stimmen, Widerspruch.", das ist doppelt gemoppelt.

$$\text{Sei }f: X\rightarrow Y \text{eine Abbildung und }A\subseteq A' \subseteq X\text{. Sei jetzt }f(x) = y\in f(A)\text{ beliebig mit }x\in A\text{. Dann gilt aber }x\in A'\text{ wegen } A\subseteq A'\text{ und somit }y = f(x)\in f(A')\text{, also }f(A)\subseteq f(A')\text{.}$$

Comments

Danke für deinen Vorschlag. Nur hatte ich keine Idee, wie man es direkt zeigen kann. Für mich war also eher der Widerspruchsbeweis der ergibigste Weg, auch wenn er hier komplizierter sein mag.