Algebra. mZ:= {m*x | x element von N}. Zeigen Sie, dass (mZ; +) eine Untergruppe von (Z; +) bildet!

Question

hab ein Problem bei der folgenden Aufgabe. Ich habe keine Ahnung wie ich das beweisen soll. Könnt ihr mir da weiterhelfen`?

Für die Menge Z der ganzen Zahlen und für m element N ist mZ = {m*x | x element von N}. Zeigen Sie,

dass (mZ; +) eine Untergruppe von (Z; +) bildet!

N = Natürliche Zahlen
Z = Ganze Zahlen

Danke

Answer 1

die Menge \( \{ mx | x \in \mathbb{N} \} \) bildet für \( m \in \mathbb{N} \) keine Untergruppe von \( \mathbb{Z} \), da es keine Inversen gibt.

Vielmehr bildet die Menge \( \{ mx | x \in \mathbb{Z} \} \) für \( m \in \mathbb{N} \) eine Untergruppe.

Du musst die Abgeschlossenheit dieser Menge zeigen. Zudem müssen Inverse existieren. Das neutrale Element 0 muss in jeder \( \{ mx | x \in \mathbb{Z} \} \) enthalten sein (worauf durch \( x = 0 \) trivialerweise abgebildet wird).

Alternativ kannst du aber auch die Isomorphie der Menge \( \{ mx | x \in \mathbb{Z} \} \) zu \( \mathbb{Z} \) zeigen. Sie erbt dann die Gruppeneigenschaft von \( \mathbb{Z} \).

MfG

Mister