Ich muss folgende Aufgaben lösen und würde gerne eure Meinung zu meiner Beweisführung (Verbesserung in der Notation, Korrektur meiner Beweisführung falls falsch/ unvollständig) von i) hören.
Für Aufgabe ii) würde ich mich freuen, wenn ihr mir sagt, was ich zu tun habe und einen Ansatz liefert. Ich verstehe bisher, dass ich die Richtung: ''<==='' zeigen muss. Aber wie?
Aufgabe:
Sei n ∈ ℤ, n ≥ 0. Sei nZ : ={nz : z∈Z}. Zeigen Sie:
(i) nℤ ist eine Untergruppe von (Z,+).
(ii) Ist U eine Untergruppe von (Z,+), dann existiert ein n ≥ 0 mit U=nZ
Mein Ansatz:
Zu (i) Richtung: ⟹
Sei n∈Z,n≥0Sei U : n∘Z : ={n∘z : z∈Z} Zu zeigen U⊂G(Z,+)
Beweis: Um zu zeigen, dass U eine Untergruppe von G müssen folgende Axiome gelten: 1)∃!e∈U,G : {e∈U=e∈G}1.1)G : ∀a∈Z+0∈Z=a⟹e∈G=01.2)U : n∘z{n∈N⊂Z∧z∈Z}⟹0∈n∧0∈z⟹{∀n+z{0}=n}∧(n{0}+z=z})⟹e∈U=0{1.1∧1.2}⟹e∈G=e∈U□2)∀a∈U∃!a−1∈U : {a∘a−1=e}Beweis : U : =n∘z
Zwar ist n in den ganzen Zahlen enthalten, aber es ist nicht negativ, jedoch ist z ein Element der Ganzen Zahlen, sodass Folgendes gilt: ∀n∈Z∃!{n−1=z}∈Z⟹n+n−1=0=e□3)∀n,z∈U : {n∘Z=a∈U}Da (n∈N∧N⊂Z)∧(z∈Z)⟹n+z=a∈Z⟹Z⊂U□
Da alle 3 Kriterien für Untergruppen für U erfüllt sind, ist U eine Untergruppe von G(Z,+)■.