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Ich muss folgende Aufgaben lösen und würde gerne eure Meinung zu meiner Beweisführung (Verbesserung in der Notation, Korrektur meiner Beweisführung falls falsch/ unvollständig) von i) hören.

Für Aufgabe ii) würde ich mich freuen, wenn ihr mir sagt, was ich zu tun habe und einen Ansatz liefert. Ich verstehe bisher, dass ich die Richtung: ''<==='' zeigen muss. Aber wie?

Aufgabe:

Sei n ∈ ℤ, n ≥ 0. Sei nZ : ={nz : zZ} n \mathbb { Z } : = \{ n z : z \in Z \} . Zeigen Sie:

(i) nℤ ist eine Untergruppe von (Z,+) ( \mathbb { Z } , + ) .

(ii) Ist U eine Untergruppe von (Z,+) ( \mathbb { Z } , + ) , dann existiert ein n ≥ 0 mit U=nZ U = n \mathbb { Z }


Mein Ansatz:

Zu (i) Richtung: \Longrightarrow

 Sei nZ,n0Sei U : nZ : ={nz : zZ} Zu zeigen UG(Z,+) \text{ Sei } n \in \mathbb{Z}, n \geq 0 \\ \text {Sei }U: n \circ \mathbb{Z} := \{n\circ z: z \in Z \} \\[20pt] \text{ Zu zeigen } U\subset G(\mathbb{Z},+) \\[10pt]

Beweis: Um zu zeigen, dass U eine Untergruppe von G müssen folgende Axiome gelten: 1)!eU,G : {eU=eG}1.1)G : aZ+0Z=aeG=01.2)U : nz{nNZzZ}0n0z{n+z{0}=n}(n{0}+z=z})eU=0{1.11.2}eG=eU2)aU!a1U : {aa1=e}Beweis : U : =nz 1) \exists! e\in U,G: \{e\in U=e\in G\} \\ 1.1)G: \forall a\in \mathbb{Z}+0\in\mathbb{Z}=a \Longrightarrow e \in G= 0 \\1.2) U:n\circ z\{n \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \land z\in \mathbb{Z}\} \Longrightarrow 0 \in n \land 0 \in z\Longrightarrow \{\forall n+ z\{0\}= n\}\land (n\{0\}+z=z\})\Longrightarrow e\in U=0 \\\{1.1 \land 1.2\}\Longrightarrow e\in G= e\in U \Box \\[10pt]2)\forall a\in U \exists!a^{-1}\in U:\{a\circ a^{-1}=e\} \\\text{Beweis:} \\U:= n\circ z

Zwar ist n in den ganzen Zahlen enthalten, aber es ist nicht negativ, jedoch ist z ein Element der Ganzen Zahlen, sodass Folgendes gilt: nZ!{n1=z}Zn+n1=0=e3)n,zU : {nZ=aU}Da (nNNZ)(zZ)n+z=aZZU \forall n\in \mathbb{Z} \exists! \{n^{-1} =z\}\in \mathbb{Z}\Longrightarrow n+n^{-1}=0=e \Box \\[10pt] 3)\forall n,z \in U: \{n \circ Z = a \in U\} \\\text{Da } (n\in \mathbb{N} \land \mathbb{N} \subset \mathbb{Z})\land (z\in \mathbb{Z}) \Longrightarrow n+z=a\in \mathbb{Z} \Longrightarrow \mathbb{Z} \subset U \Box

Da alle 3 Kriterien für Untergruppen für U erfüllt sind, ist U eine Untergruppe von G(Z,+) G(Z,+) \blacksquare .

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Bei mir auf dem Bildschirm wird mein Beweisführung irgendwie komisch angezeigt:

Falls es für andere die mir bei meiner Aufgabe helfen wollen ebenfalls so ist, habe ich hier ein screenshot aus Latex von meinem Beweis:


aufgabe.PNG

Kann in der Fragestellung jemand innerhalb von Beweis 2) noch ein paar Zeilenumbrüche erzwingen?

Doppeldollar zu Beginn und am Schluss der Zeilen einfügen sollte das Problem beheben.

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