Von vollstaendiger Induktion habe ich noch nie etwas gehoert und es steht auch nichts in dem Buch, aus dem die Aufgabe stammt.
Dann brauchst du das auch nicht mit vollständiger Induktion machen.
Es gibt ja meist mehrere Wege die zum Ziel führen. Das gute ist das jeder gemäß seinem Wissen einen anderen Weg wählen kann.
Da es bei Modulo 5 ja nur 4 verschiedene Reste geben kann ist es ein einfaches, es einfach für alle Reste durchzugehen.
n5 - n mod 5 = 0 ???
15 - 1 mod 5 = 0 --> wahr
25 - 2 mod 5 = 0 --> wahr
35 - 3 mod 5 = 0 --> wahr
45 - 4 mod 5 = 0 --> wahr
da nun aber gilt
n5 - n mod 5 = n5 mod 5 - n mod 5 = (n mod 5)5 mod 5 - n mod 5 hast du es damit für alle n gezeigt.