Begrenzte Zunahme am Beispiel von Milch die sich erwärmt

Question

 Milch mit einer Temperatur von 5°C wird aus dem Kühlschrank in einen 25°C warmen Raum gestellt. In jedem Moment erwärmt sie sich pro Minute um 12% der noch herrschenden Temperaturdifferenz zur Raumtemperatur. Ermitteln sie

(1) Die Gleichung für die Erwärmungsgeschwindigkeit

(2) Einen Term für die Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit

(3) Den Temperaturverlauf

Comments

Wäre verdammt gut, wenn mir jemand helfen könnte..


Das ist für eine Klassenarbeit morgen >.<

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Wie der Blitz^^

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Ich wäre dir verdammt dankbar.


Nen Ansatz habe ich schon, aber irgendwie komme ich nicht weiter..

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Die Antwort ist doch schon da? Das war ja der Witz :P.

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Oh danke :)

 

Habs gar nicht gesehen :P

f′(t)=0.12⋅(25−f(t)) ist doch quasi dasselbe wie v = dT/dt = 0,12*(25-T)/min?

 

Wie kommst du auf den Term? T' = 3 - 0,12T

 

Und wie danach auf den? (t) = c₁*e^-0,12t + 25

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f′(t)=0.12⋅(25−f(t)) ist doch quasi dasselbe wie v = dT/dt = 0,12*(25-T)/min?

Das ist richtig.

Da es sich aber um die Temperatur handelt, hatte ich mir erlaubt T zu wählen. Aber ist egal.

 

T' = 3 - 0,12T

Das ist eine leichte Übung: Ausmultiplizieren von der obigen Gleichung ;).

 

T(t) = c₁*e^-0,12t + 25

Das ist die Lösung der Differentialgleichung. Das hast Du doch sicher schonmal gemacht? Eigentlich ist es auch nicht sooo wichtig. Man kann es auch "sehen".

Es muss beschränkt sein und zwar auf 25. Also für t->∞ brauchen wir den Grenzwert 25. Das erreichen wir durch den Summanden.

Dann brauchen wir noch Exponentielles Wachstum: c*e^{kt}, wobei k gegeben ist. c bestimmt man durch den Anfangswert, welcher mit 5°C vorgegeben ist.

Man kommt also auch ohne Wissen um das Lösen einer Differentialgleichung zur Lösung. Nur muss man da mehr denken^^.

Answer 1

Hi Schnurres,

 

(1)

v = dT/dt = 0,12*(25-T)/min

 

(2)

Hier soll man die Differentialgleichung lösen:

T' = 3 - 0,12T

Das führt schnell auf:

T(t) = c₁*e^{-0,12t} + 25

Anfangsbedingung ist T(0) = 5°C

5 = c₁ + 25  

c₁ = -20

--> T(t) = -20e^{-0,12t} + 25

 

(3)

 

Weiter reicht mein Zeichenprogramm leider nicht. Aber ich denke die Idee ist klar ;).

 

Grüße

Comments

f′(t)=0.12⋅(25−f(t)) ist doch quasi dasselbe wie v = dT/dt = 0,12*(25-T)/min?

 

Wie kommst du auf den Term? T' = 3 - 0,12T

 

Das erschließt sich mir nicht ganz.Ach du multiplizierst es aus..

 

Und wie danach auf den? (t) = c₁*e^-0,12t + 25

 

Das versteh ich nicht gaanz. Wie kommst du auf diese Aufleitung?

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Ich habe mal meine Antwort von oben hierher geholt. Hier passt sie besser.

 

f′(t)=0.12⋅(25−f(t)) ist doch quasi dasselbe wie v = dT/dt = 0,12*(25-T)/min?

Das ist richtig.

Da es sich aber um die Temperatur handelt, hatte ich mir erlaubt T zu wählen. Aber ist egal.

 

T' = 3 - 0,12T

Das ist eine leichte Übung: Ausmultiplizieren von der obigen Gleichung ;).

 

T(t) = c₁*e^-0,12t + 25

Das ist die Lösung der Differentialgleichung. Das hast Du doch sicher schonmal gemacht? Eigentlich ist es auch nicht sooo wichtig. Man kann es auch "sehen".

Es muss beschränkt sein und zwar auf 25. Also für t->∞ brauchen wir den Grenzwert 25. Das erreichen wir durch den Summanden.

Dann brauchen wir noch Exponentielles Wachstum: c*e^{kt}, wobei k gegeben ist. c bestimmt man durch den Anfangswert, welcher mit 5°C vorgegeben ist.

Man kommt also auch ohne Wissen um das Lösen einer Differentialgleichung zur Lösung. Nur muss man da mehr denken^^.

 

P.S.: Bin nun im Bett, falls noch was wäre. Viel Erfolg :)