Beweis Normalteiler (kleinsche Vierergruppe)

Question

Zeigen Sie,

V₄ := {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}

ist ein Normalteiler von S₄

(V₄ heißt Kleinsche Vierergruppe)

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Beweis Normalteiler (kleinsche Vierergruppe)

Um zu zeigen, dass $V_4 := \{(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}$ ein Normalteiler von $S_4$ ist, müssen wir zeigen, dass für jedes Element $g \in S_4$ und für jedes Element $v \in V_4$ gilt, dass das konjugierte Element $gvg^{-1} \in V_4$.

Die Kleinsche Vierergruppe $V_4$ ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe $S_4$, die aus den Elementen besteht, die Paare von Elementen aus der Menge \{1, 2, 3, 4\} vertauschen. Beachte, dass $V_4$ aus allen Elementen besteht, die zwei 2-Zyklen oder den Identitätszyklus beinhalten.

Schritt 1: Verständnis der Konjugation

Konjugation eines Elements $v \in V_4$ durch ein Element $g \in S_4$ bedeutet, $v$ in der Form $gvg^{-1}$ zu schreiben. Falls $gvg^{-1}$ für jedes $g \in S_4$ wieder in $V_4$ liegt, ist $V_4$ ein Normalteiler von $S_4$.

Schritt 2: Analyse der Wirkung der Konjugation

Beim Konjugieren eines Elements von $V_4$ durch ein beliebiges Element von $S_4$ wird die Struktur des ursprünglichen Elements (beispielsweise die Vertauschung zweier Elementepaare) beibehalten, allerdings möglicherweise auf eine andere Gruppe von Elementen angewendet. Die Konjugation kann die Zuordnung der Zahlen ändern, aber die allgemeine Struktur (zwei getrennte 2-Zyklen oder der Identitätszyklus) bleibt erhalten.

Schritt 3: Die Eigenschaften von $V_4$

Die Gruppe $V_4$ hat einige spezielle Eigenschaften, die für den Beweis hilfreich sind:
- Abgeschlossenheit: Das Produkt zweier Elemente aus $V_4$ ist wieder in $V_4$.
- Neutralität: Das neutrale Element $1$ von $S_4$ ist in $V_4$.
- Inverses Element: Jedes Element in $V_4$ ist sein eigenes Inverses, was bedeutet, dass $v = v^{-1}$ für alle $v \in V_4$.

Schritt 4: Zeigen, dass $gvg^{-1} \in V_4$

Um zu beweisen, dass $V_4$ ein Normalteiler ist, nehmen wir ein beliebiges Element $g \in S_4$ und ein beliebiges Element $v \in V_4$. Da die Konjugation mit $g$ die allgemeine Zyklenstruktur (entweder zwei 2-Zyklen oder den Identitätszyklus) unter den Elementen von $S_4$ nicht ändert, bleibt nach der Konjugation die Struktur von $v$ innerhalb der Definition von $V_4$. Dadurch bleibt $gvg^{-1}$ innerhalb $V_4$.

Schritt 5: Fazit

Da $gvg^{-1}$ für alle möglichen Kombinationen von $g \in S_4$ und $v \in V_4$ immer ein Element von $V_4$ ist, folgt, dass $V_4$ ein Normalteiler in $S_4$ ist. Dies steht im Einklang mit der Definition eines Normalteilers, bei welchem die Konjugation eines jeden Elements der Untergruppe durch ein beliebiges Element der Obergruppe wieder ein Element der Untergruppe ergeben muss.

Somit ist der Beweis erbracht, dass $V_4$ tatsächlich ein Normalteiler von $S_4$ ist.