Gott sei Dank; es ist weg. A Propos Gott sei Dank; hier da gibt es einen vorpubertären Witz so im Karl_May_Zuschnitt über Cowboys. Er kam schon im ARD Nachtkonzert; er besitzt durchaus eine logisch-matematische Komponente.
' Verkauft ein Pfarrer einem Cowboy einen Gaul.
" Das Vieh versteht weder Hü noch Hott. Wenn Sie sagen ' Gott sei Dank ' , galoppiert er los. Und wenn er anhalten soll, müssen Sie sagen ' Amen '
Der Cowboy sagt auch brav Gott sei Dank; und das Pferd galoppiert auch tatsächlich los. Aber dann denkt er nicht mehr weiter dran. Das Verhängnis: Die beiden nähern sich einer 100 m breiten Schlucht. Doch durch kein Zureden ist das Pferd zum Stehen zu bringen.
" Wenn du jetzt stehst, will ich mein Leben Gott verschreiben - Amen !!! "
Das Pferd steht; da seufzt der Cowboy
" Gott sei Dank " ... '
Den Sonderfall paralleler Geraden hatten wir abgehandelt. Verbleiben noch Wind schief, bzw. sie schneiden sich. Da wäre es doch wünschenswert, wenn sich - gerade bei Parametern - der Wind schiefe Fall erkennen ließe bereits vor Berechnung des eigentlichen Schnittpunktes. Und das geht; dafür gibt es nämlich eine ganz spezielle ===> Determinante. Sie lautet
f ( t1 ; t2 ) := det ( t1 | t2 | P2 - P1 ) ( 2.1 )
Ihr wisst, dass eine Funktion immer eine eindeutige Funktion ist. In ( 2.1 ) wird also behauptet, dass diese Determinante unabhängig ist von den beiden Startpunkten P1;2 , wenn du die längs der Geraden verschiebst. Den Beweis lasse ich euch als Hausaufgabe.
Natürlich verschwindet die Determinante, wenn die beiden Geraden parallel sind ( warum? ) Aber von diesem Sonderfall wollen wir jetzt ausdrücklich absehen. Dann gilt nämlich
" Determinante ( 2.1 ) verschwindet <===> g1 und g2 schneiden sich. "
Beweis. Angenommen sie schneiden sich ( notwendige Bedingung ) Dann setze in ( 2.1 ) P1 = P2 = Schnittpunkt.
Angenommen sie sind Wind schief. Dann stell dir zwei Ebenen E1;2 vor, die beide von den Basisvektoren t1;2 erzeugt werden - E1 und E2 sind parallel.
E1 enthalte Punkt P1 und E2 den Punkt P2 . Damit ist g1 € E1 und entsprechend g2 € E2 .
Eine Fragestellung typisch für mich: Wie müssen wir P1;2 verschieben längs g1;2 , damit ihr Abstand minimal wird? Das kann man rechnen; die Antwort ist aber anschauloch: Der Verbindungsvektor ( P2 - P1 ) steht senkrecht so wohl auf t1 als t2 ( und damit natürlich senkrecht auf beiden Ebenen. )
Damit sind aber die drei Vektoren in ( 2.1 ) linear unabhängig ===> Die Determinante ist < > 0 , wzbw
Unser Musiklehrer Pauli, der mit uns exorbitantg viel Teorie machte
" Welchen Notenwert hat der Pauli? "
" Halbe Note; hohler Kopf mit Hals ... "
sprach immer das geflügelte Wort
" So. Das war die Teorie; und jetzt kommt die Praxis. "
Bei Lichte besehen, ist eine Determinante nix weiter als eine Tabelle, deren Einträge nur richtig gefüllt werden müssen; siehe ( 1.1bc )
| b 2 4 |
det = | 6 - 3 c - 2 | = ( 2.2a )
| 4 d - a |
= b * ( - 3 ) * ( - a ) + 2 ( c - 2 ) * 4 + 4 * 6 d - 4 * ( - 3 ) * 4 - 2 * 6 * ( - a ) - b ( c - 2 ) d = ( 2.2b ) ( Onkel Sarrus )
= 3 a b + 8 c + 24 d + 32 + 12 a - b c d + 2 b d = 0 ( 2.2c )
Schaut mal hier:
https://matrixcalc.org/de/#determinant%28%7B%7Bb,2,4%7D,%7B6,-3,c-2%7D,%7B4,d,-a%7D%7D%29
Wolfram würd ich jetzt eher misstrauen. Suchen tust du die gesamte Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms in vier Veränderlichen; da ist nichts Näheres bekannt. Aber vielleicht hilft es dir ja, wenn du gewisse einschränkende Nebenbedingungen kennst.
