Parametrisierung einer vorgegebenen Fläche finden

Question

Hallo gegeben ist die Fläche F={(x,y,z)∈ℝ^3: x^2+2y^2+3z^2=1, z>0}. Jetzt soll ich zeigen, dass F als Graph von einer Funktion von einer offenen Menge in ℝ^2 nach ℝ parametrisiert werden kann. Nur ich hab keine Ahnung wie ich das angehen soll? Kann mir einer bitte zeigen, wie das geht?

LG Mathstiger

Answer 1

x^2+2y^2+3z^2=1, z>0

<=>   x^2+2y^2 - 1 = -3z^2   , z>0

<=>  ( -x^2-2y^2 +1) / 3  = z^2   , z>0

==>    z = √ ( -x^2-2y^2 +1) / 3 )

Das geht natürlich nur, wenn der Radikand größer

oder gleich 0 ist, wegen  z>0 muss er sogar größer 0

sein.

Das ist der Fall für   x^2+2y^2 < 1   .

Und alle, die das erfüllen bilden die

angesprochene offene Teilmenge von ℝ² .

Das sind also alle Punkte im Inneren der

Ellipse um (0;0) mit den Halbachsen 1 und √0,5.

Answer 2

Hm,

suchst Du so was E Ellipsoid

\(Ep(r, s) \, :=  \, \left(\frac{1}{\sqrt{1}} \; \operatorname{sin} \left( r \right) \; \operatorname{cos} \left( s \right), \frac{1}{\sqrt{2}} \; \operatorname{sin} \left( r \right) \; \operatorname{sin} \left( s \right), \frac{1}{\sqrt{3}} \; \operatorname{cos} \left( r \right) \right)\)