Aussagenlogik mit Quantoren

Question

An folgender Aufgabe kniffle ich schon eine ganze Weile:

Es sei $P(x):=\exists x_{1} \mathbb{N} \exists x_{2} \mathbb{N}\left(x_{1}+x=x_{2}\right)$. Zeigen Sie $\mathbb{N}=\{x \in \mathbb{R} \mid P(x)\}$.

P(x) eingesetzt ist ja dann:

$\mathbb{N}=\left\{x \in \mathbb{R} \mid \exists x_{1} \mathbb{N} \exists x_{2} \mathbb{N}\left(x_{1}+x=x_{2}\right\}\right.$

Heißt das dann, dass ich den Term x₁+x=x₂ beweisen muss, wobei x(ohne Index)∈ℝ? Was ja eine falsche Aussage ist, da ich ja jede beliebige Zahl ∈ℝ einsetzen kann, womit x₂ ja ∉ℕ.

Liege ich da richtig?

Answer 1

Okay, ich habe es dann doch noch herausgefunden:

Es handelt sich um eine wahre Aussage, da nur ein x∈ℕ mit x₁∈ℕ addiert x₂∈ℕ ergeben kann. Somit ist ℕ⊂ℝ (ℕ sind alle x∈ℝ, die mit x₁∈ℕ addiert ein x₂∈ℕ ergeben).

Comments

Wobei es einen Fehler bei der Aufgabe gab. Es sollte eigentlich ℤ=... heißen.