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Könnt ihr mir auch noch bei dieses Bsp. helfen, ich tu mir sehr schwer Extremwerte (Nullstelle, Extremstell und Wendepunkte) aus zu rechnen.


Gegeben ist  die Funktion f(x)=x³+2x²+x.

• Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion. Begründen Sie wie viele Nullstelle es maximal geben kann, bzw.  mindestens geben muuss.

• Bestimmen Sie Art und Lage der Extremstellen und ermitteln Sie den Wendepunkte.

• Skizzieren Sie den Graph der Funktion.

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Hallo Azan,

es handelt sich um eine Funktion mit ungeradem Grad, also hat sie mindestens eine Nullstelle, maximal drei.

Diese kannst du so berechnen:

$$x^3+2x^2+x=0\\x(x^2+2x+1)=0\\x=0 \text{  oder  }x^2+2x+1=0$$

Die zweite Gleichung löst du beispielsweise mit der pq-Formel (Ergebnis x = -1).

Extremstellen:

1. Ableitung = 0 setzen, Ergebnis in 2. Ableitung einsetzen, bei positivem Ergebnis handelt es sich um einen Tiefpunkt und bei negativem um einen Hochpunkt.

Wendepunkte:

2. Ableitung = 0 setzen

Gruß, Silvia

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Hi,

a) Nullstellen

Es gibt maximal drei Nullstellen, da wir eine Funktion dritten Grades haben. Es muss hingegen mindestens eine Nullstelle geben, da ein Vorzeichenwechsel stattfindet (fürs Verhalten im Unendlichen).

x^3+2x^2+x = x(x^2+2x+1) = 0

x_{1} = 0

Für den zweiten Teil erste binomische Formel erkennen (oder pq-Formel anwenden):

x^2+2x+1 = (x+1)^2 = 0

x_{2,3} = -1


b) Extrema und Wendepunkte

Da brauchen wir etwas Vorarbeit: Ableitungen

f'(x) = 3x^2+4x+1

f''(x) = 6x+4

f'''(x) = 6

Ein Extremum liegt nur dann vor, wenn f'(x) = 0 ist. Dafür durch 3 dividieren und pq-Formel anwenden:

x_{4} = -1

x_{5} = -1/3

Überprüfen wir noch die Art der Extremstellen mit der zweiten Ableitung:

f_{x4} < 0  --> Hochpunkt

f_{x5} > 0 --> Tiefpunkt

Wendepunkt fordert f''(x) = 0

-> x_{6} = -2/3

Mit f'''(x) noch überprüfen, welches in der Tat ≠ 0 ist und wir mit x_{6} eine Wendestelle haben.


c) Skizze

Skizzieren sollte mit den erhaltenen Daten kein Problem sein

~plot~ x^{3}+2x^{2}+x; [[-4|4|-4|4]] ~plot~


Grüße

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