Berechnen Sie den Realteil und Imaginärteil folgenden Zahlen z2=((1+i)/(1-i))^2

Question

Hi,

also wie oben schon beschrieben geht es um die Berechnung von Realteil und Imaginärteil.

Wir haben gerade erst mit dem Thema angefangen, daher verstehe ich zwar das Grundprinzip aber bei den beiden Aufgaben kann ich es leider nicht anwenden.

(I) z = 1 / i⁵ + 1 / i⁷ + 1 / i⁹

(II) z₂ = ( (1 + i) / (1 - i) )²

Ihr müsst mir nicht die Lösung verraten aber es würde mir schon sehr weiterhelfen wenn mir jemand sagen würde wie ich da rangehen muss.

 

Lieben Dank schonmal :)

Answer 1

Benutze

1/i = -i, denn -i*i = 1

und i^4 = 1

1/i^5 = (-i)^5 = -i^5 = -i*1 = -i

 

z₂ = ( (1 + i) / (1 - i) )²

ergänze die nötigen Klammern, falls nicht nur die 1 unter dem Bruchstich steht.

Man kann den Nenner mit HIlfe des 3. Binoms real machen, 

(1+i)/(1-i) = (1+i)(1+i)/((1+i)(1-i)) = (1 + 2i - 1)/(1 +1) = 2i/2 = i

Jetzt noch quadrieren.

z₂ = -1

Realteil -1 und Imaginärteil 0. 

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28+%281+%2B+i%29+%2F+%281+-+i%29+%29%5E2

Answer 2

Hi,

(I) z = 1 / i⁵ + 1 / i⁷ + 1 / i⁹

 

(I) z = 1 / (i^2*i^2*i) + 1 /(i^2*i^2*i^2*i)+ 1 /(i^2*i^2*i^2*i^2*i) = 1/i + 1/(-i) + 1/i = 1/i = i/(i^2) = -i,

wobei i^2 = -1

Also z = 0 + -1*i

 

(II) z₂ = ( (1 + i) / (1 - i) )² = (1^2+2i+i^2)/(1^2-2i+i^2) = (2i)/(-2i) = -1

Also z = -1+0*i

 

Alles klar?

Grüße

Answer 3

z = 1/i^5 + 1/i^7 + 1/i^9
z = i^5/i^10 + i^7/i^14 + i^9/i^18
z = i/(-1)^5 - i/(-1)^7 + i/(-1)^9
z = -i + i - i
z = -i

z = (1 + i)/(1 - i)
z = (1 + i)(1 + i)/((1 + i)(1 - i))
z = (1 + 2i - 1)/2 = i
z^2 = i^2 = -1

Jetzt sollte das ausrechnen von Real- und Imaginärteil nicht mehr so schwer sein.