2. Ableitung : Gilt immer- gilt nie- es kommt drauf an: Rechtsgekrümmt, linksgekrümmt

Question

a) Wenn der Graph von g rechtsgekrümmt ist und der Graph von f linksgekrümmt ist, dann ist der Graph der Funktion h mit h(x)= g(x)+f(x) weder links- noch rechtsgekrümmt.

b) Wenn der Graph von g rechtsgekrümmt ist und der Graph von f auch rechtsgekrümmt ist, dann ist der Graph von h mit h(x) = g(x)• f(x) linksgekrümmt

c) Wenn der Graph von g linksgekrümmt ist, dann ist der Graph der Funktion h mit h(x)= 2• g(x) ebenfalls linksgekrümmt

Woher weiß ich ob das stimmt oder nicht stimmt bzw. gegebenfalls stimmt?

Answer 1

Hallo Julia,

a) es kommt darauf an, welche der Krümmungen stärker ist. Mache ein Beispiel \(g(x) = -\frac16 x^2\) ist rechts gekrümmt und \(h(x) = \frac76 x^2\) ist links gekrümmt. Die Summe \(g(x)+h(x) = x^2\) ist eine Funktion mit Links Krümmung. Tausche die Faktoren aus und es ist anders herum.

b) das ist schwieriger. Ob Links- oder Rechts-Krümmung wird nur durch das Vorzeichen der 2.Ableitung bestimmt. ist \(h(x)\) links gekrümmt, so muss \(h''(x)>0\) sein. Zweimal abgeleitet gibt:

$$h''(x) = g''(x) f(x) + 2 g'(x)f'(x) + g(x)f''(x)$$ und als Vorbedingung ist nur \(g''(x)<0\) und \(f''(x)<0\) gegeben, da rechts gekrümmt. Es kommt also drauf an - ich suche noch ein Beispiel.

c) ist richtig. Durch einen bloßen (positiven) Faktor ändern sich die Vorzeichen der Ableitungen nicht.

Comments

zu b)

Hier ein Beispiel für 2 rechts gekrümmte Funktionen, deren Produkt eine links gekrümmte Funktion ergibt:

~plot~ -x^2/2+x-2;-x^2/3+2x-4;[[-6|18|-10|20]];(-x^2/2+x-2)(-x^2/3+2x-4) ~plot~

aber wenn ich z.B. \(g(x)\) nur etwas nach oben verschiebe, so stellt sich beim Produkt im Bereich um \(+2\) bereits eine Rechts-Krümmung ein:

~plot~ -x^2/2+x+4;-x^2/3+2x-4;[[-6|18|-12|18]];(-x^2/2+x+4)(-x^2/3+2x-4) ~plot~

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Okay ich glaube dann habe ich das einigermaßen verstanden. Vielen Dank für die Mühe!