Differenzialrechnung: Ein Quader aus Pappe mit quadratischer Grundseite hat das Volumen 1 Liter.

Question

Ein Quader aus Pappe mit quadratischer Grundseite hat das Volumen 1 Liter.

a) Wie groß müssen seine Kantenlängen sein, wenn für seine Herstellung möglichst wenig Material verwendet werden soll?

b) Welche Kantenlängen muss man wählen, wenn der Quader oben offen sein soll?

Bis jetzt bin ich gekommen auf:

V= a² * h = 1 dm³

O= (a;h)= 2a² + 4 * (ah)

Answer 1

V= a² * h = 1 dm³    ==>   h = 1/a^2 

O(a;h)= 2a² + 4 * (ah)  einsetzen  h = 1/a^2

 O(a)  =  2a² + 4 /a  .   Jetzt hast du eine Funktion von einer Variablen.

Answer 2

a) Unter allen Quadern gleicher Höhe und gleichen Volumens hat ein quadratischer Quader die kleinste Oberfläche A. Also gilt 1=a²·b und A=4ab+2a².  Dann ist b=1/a²  und A=4/a+2a². Eine Nullstelle der ersten Ableitung ist das Minimum, also die Grundkantenlänge der kleinsten Oberfläche.