Question

Abstand des Punktes P(-1, 6 3) von der Ebene E: -z - y - 3*x = - 6 bestimmen

Kann mir eimer bei dieser Aufgabe behilflich sein?

Danke

Comments

Schau dir mal dieses Video an:

---

Wie mache ich es mit einem beliebigen Punkt A auf der Ebene ?
Wie ermittele ich diesen ?
(Parameterform und Normalform)

---

Du kannst zwei Variablen frei wählen und nach der dritten auflösen.

---

Wieso kann ich zwei variablen frei wählen ?

---

Wenn du prüfen sollst, ob ein Punkt auf einer Ebene liegt, gibst du die Koordinaten des Punktes ein und schaust, ob die Gleichung aufgeht. Jetzt gibst du zwei Koordinaten ein und wählst den dritten so, dass genau das geschieht. Wäre die Ebene in Parameterform dargestellt, würdest du für r und s (oder s und t) beliebige Zahlen eingeben, um einen Punkt zu erhalten.

---

Wie kann ich denn aber einen beliebigen Punkt mit der Koordinatenform bestimmen ?

Ich kann es hauptsächlich mit der Parameterform.

---

Zur Umwandlung von der Koordinatenform in die Parameterform empfehle ich

Dadurch ergibt sich in deinem Fall
$$E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -2\\6\\0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} -2\\0\\6 \end{pmatrix}$$

---

Ich könnte ja als Punkt A den Punkt $\begin{pmatrix} -2\\6\\6 \end{pmatrix}$ annehmen oder?

---

Ja - dieser Punkt liegt auch in der Ebene. Er erfüllt die Ebenengleichung.

---

@Silvia:

Zur Umwandlung von der Koordinatenform in die Parameterform

IMHO ist die Parameterform hier völlig fehl am Platz. Mit der Normalenform ist es viel einfacher. Und die Aufgabe sieht danach aus, dass genau das geübt werden soll.

---

@Werner

Das habe ich nicht erkannt/gesehen, sondern mich darauf bezogen

Answer 1

Einen Punkt $A$ zu finden, bedeutet drei Werte für $x$, $y$ und $z$ zu finden, die die Ebenengleichung $$-3x-y-z=-6, \quad \text{bzw.:} \space \begin{pmatrix} -3\\ -1\\ -1\end{pmatrix} \cdot \vec{x} = -6$$ erfüllen. Das ist z.B. $A=\begin{pmatrix} 1& 4& -1\end{pmatrix} ^T$ : $$\begin{pmatrix} -3\\ -1\\ -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ -1\end{pmatrix} = (-3)\cdot 1 + (-1)\cdot 4 + (-1)\cdot (-1)= -6$$ Den Abstand $d$ zur Ebene kann man nun mit Hilfe des Skalarprodukts berechnen. Sei $\vec{n} = \begin{pmatrix} -3&-1& -1\end{pmatrix}^T$ der Normalenvektor von $E$, so ist der Abstand $d$ von $P$ zur Ebene:  $$d(P,E) = \frac{\vec{n}}{\Vert\vec{n}\Vert} (P - A) = \frac{\vec{n} \cdot P - \vec{n} \cdot A}{\Vert\vec{n}\Vert} \\ \quad = \frac{(-3)\cdot (-1)+ (-1)\cdot6 + (-1)\cdot3 - (-6)}{\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-1)^2}} \quad \text{Bem.:} \space \vec{n}\cdot A = -6\\ \quad = \frac{0}{\sqrt{11}} = 0$$D.h. $P$ liegt bereits in der Ebene, da der Abstand gleich 0 ist. (s.a. Geoknecht3d)

Gruß Werner

Comments

Wie kann ich denn aber einen beliebigen Punkt mit der Koordinatenform bestimmen ?

Die Ebenengleichung lautet: $$-3x-y-z=-6$$ Ich habe $x=1$ und $y=4$ frei gewählt. Einsetzen liefert: $$-3\cdot 1 - 4 - z = -6 \quad \left| +7\right. \\ -z = 1 \quad \left| \cdot (-1) \right. \\ z = -1$$ D.h. der Punkt $A$ mit den drei Wert $x=1$, $y=4$ und $z=-1$ liegt in der Ebene, da er die Ebenengleichung erfüllt.

---

Wäre in deinem Fall Punkt A $\begin{pmatrix} 1\\4\\-1 \end{pmatrix}$ und der Abstand 0 ?

---

Ja genau! und der Abstand von $P$ zur Eben ist gleich 0. Auch die Koordinaten von $P= \begin{pmatrix} -1&6&3 \end{pmatrix}^T$ erfüllen die Ebenengleichung: $$(-3)\cdot(-1) + (-1)\cdot 6+ (-1)\cdot3 = -6$$ folglich liegt $P$ in der Ebene und hat den Abstand 0 zur Ebene.

---

Danke dir und allen anderen für eure Hilfe

Answer 2

Dann wandelst du die Ebene erst in die Parameterform um. Weißt du  wie?