Wenn der Vektorraum 3-dimensional ist, dann sind
je drei lin. unabhängige Vektoren aus V eine Basis.
{u + v, v + w, u + w}
Die drei sind alle in V, da sie sich alle mit u,v,w
erzeugen lassen.
Außerdem sind sie lin. unabhängig; denn
x(u + v)+y*(v + w) +z*(u + w} = 0
<=> (x+z)*u + (x+y)*v + (y+z)*w = 0
==> x+z=0 und x+y=0 und y+z=0
da u,v,w lin. unabh. sind
==> x = -z und x+y=0 und y+z=0
==> x = -z und -z+y=0 und y+z=0
2. + 3. Gleichung gibt y=0 und mit den
anderen auch x=0 und z=0 .
Also ist {u + v, v + w, u + w}
ein System von 3 lin. unabhängiges Vektoren von V,
also eine Basis.
{u − v, v − w, w − u} alle aus V (s.o.)
aber der erste ist eine Lin.komb der beiden anderen
u-v = -1*(v-w) + (-1)*(w - u ) , also sind sie nicht
lin. unabh., also keine Basis von V.
{u, u + v, u + v + w} alle aus V (s.o.) und
x*u +y*(u + v) + z*(u + v + w) = 0
<=> (x+y+z)*u +(y+z)*v + z*w=0
wegen der lin.Unabh. von u,v,w also
x+y+z=0 und y+z=0 nd z=0
also x=y=z=0 . ==> {u, u + v, u + v + w}
ist ein System von 3 lin. unabhängiges
Vektoren von V,also eine Basis.
